Construindo a Aprendizagem Matemática: História da Matemática

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

PROFESSOR: LUIZ AUGUSTO

A HISTÓRIA DOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS E NÚMEROS

A IDEIA DE NÚMERO

O começo.....onde está?

A própria história dos números, nos mostra que eles não foram inventados por uma única pessoa,tribo ou mesmo nação. A idéia de número na cultura humana é muito antiga. Ela foi se desenvolvendo lentamente ao longo dos séculos. A percepção de número pelo homem, ou seja, a formação da idéia de número, pode ter acontecido há mais de 300.000 anos.

Surpreendeu-se com esse tempo? Pois é, faz muito tempo.....

É provável que, no início, nossos antepassados só contassem até dois. Mais do que isso era dado como “muitos”. Embora de maneira bastante primitiva, a ideia de quantidade começava a existir. Eles passaram a perceber a diferença entre um, dois e muitos.

Pode parecer estranho, mas até mesmo alguns animais possuem a capacidade de diferenciar pequenas quantidades. Para ilustrar isso, vamos descrever uma situação, inspirada num texto do livro Número: a linguaguem da ciência, do escritor Tobias Dantzig.

Um fazendeiro desejava acabar com um corvo que havia feito seu ninho no sótão de sua casa. Acontece que, toda vez que o homem entrava na casa, o corvo voava para uma árvore próxima. O fazendeiro resolveu enganar o corvo. Entrou na casa acompanhado de uma pessoa, que saiu logo em seguida, mas ele permaneceu. O corvo, que tinha voado para a árvore quando os dois entraram, não voltou ao ninho depois que a outra pessoa saiu, mas aguardou até que o fazendeiro saísse, para retornar.

Estão querendo me tapear, é?

O fazendeiro fez outras experiências, complicando a situação para o corvo cada vez mais: entravam três pessoas e saíam duas, entravam quatro pessoas e saíam três, e nada de o corvo se deixar apanhar. Ele sempre esperava que “todos” saíssem, para então retornar ao seu ninho. No entanto, quando entraram cinco pessoas e saíram quatro, o corvo voltou ao ninho, e o fazendeiro,que tinha permanecido dentro da casa, o apanhou.

É claro que a ave não sabia contar, mas, com esse comportamento, ela mostrou possuir algum “senso numérico”.

Existem experiências que demonstram que outros animais também possuem esse tipo de capacidade, alguns de forma mais desenvolvida e outros menos.

Os animais em geral desenvolveram essa capacidade para quantidades pequenas, entretanto, apenas o homem consegue lidar com grandes quantidades, trabalhando com os números de forma elaborada.

Os egípcios criam os símbolos

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio.

Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.

Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.

Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito.
Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso?

Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.

3 + 5 = 8

Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?

Contando com os egípcios

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil.

O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000

100.000 1.000.000

Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.

        Um traço vertical representava 1 unidade:
        Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:
        Um laço valia 100 unidades:
        Uma flor de lótus valia 1.000:
        Um dedo dobrado valia 10.000:
        Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:
        Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número:

Os papiros da Matemática egípcia

Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.
O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres.O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.

A técnica de calcular dos egípcios

Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição.

Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes. 13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9

A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a multiplicação:

Número de parcelas	Resultado
1	9
2	18
4	36
8	72

Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas: 1 + 4 + 8 = 13

O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas: 9 + 36 + 72 = 117

Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros.

Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam.

Descobrindo a fração

Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...“... repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes.Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraómandava funcionários examinarem e determinarem por medida

a extensão exata da perda.”

Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos.

O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro.

Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.
Usavam cordas para fazer a medição.Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.

No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.
Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.

Para representar os números fracionários, usavam frações.

As complicadas frações egípcias

Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1.

Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador.

As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1.

Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.

No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados.

Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade.

Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.

Contando com os romanos

De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.

Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios.
Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.

Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana.

Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?

Os símbolos do sistema de numeração romano

Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.

I V X L

C D M

Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?

O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:

I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1.000.

Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.

II = 1 + 1 = 2
XX = 10 + 10 = 20
XXX = 10 + 10 + 10 = 30

Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.

IV = 4 porque 5 - 1 = 4
IX = 9 porque 10 – 1 = 9
XC = 90 porque 100 – 10 = 90

Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.

VI = 6 porque 5 + 1 = 6
XXV = 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX = 60 porque 50 + 10 = 60

Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:

Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.

M = 1.000

Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.

D = 500

Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.

D – C = 500 – 100 = 400

Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.

M + CD = 1.000 + 400 = 1.400

Sobrava apenas o V. Então:

MCDV = 1.400 + 5= 1.405

Os milhares

Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.

Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.

E os números maiores que 3.000?

Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.

Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.

O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema.Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.

E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.

Afinal os nossos números

No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.

Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:

“Existem outros povos que também sabem alguma coisa!Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculossão feitos por apenas nove sinais!”.

A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero – ainda não tinha chegado ao Ocidente.

A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.

Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.

Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.

Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso?

E por que os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são chamados de algarismos? Os árabes divulgam ao mundo os números hindus Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.

Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.

Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.

Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. “Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”.

Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi.

Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de gansol!

Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.
Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.

Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus.Daí o nome algarismo.

São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.

Os números racionais

Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior

que ele fosse.0 13 35 98 1.024 3.645.872

Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais.

Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários.

Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios.

O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.

A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

A teoria dos Números

No século III da era cristã, quando a Escola de Alexandria já se encontrava em decadência, ali viveu o mais brilhante teórico dos números da Antiguidade, Diofanto (cerca 250 d.C), autor de um belíssimo livro chamado Aritmética, que caiu nas mãos de Fermat 13 séculos mais tarde, depois que o livro foi descoberto no século XV pelo matemático alemão Johann Muller (1.436 - 1.476) e editado em francês por Bachet de Méziriac, em 1621.

Dentre as várias contribuições de Diofanto à Matemática, duas delas merecem aqui um comentário especial. Comecemos por algo que é sabido de todos mas que poucos, quando perguntados, conseguem justificar: as regras dos sinais na multiplicação de números relativos. Já nos primeiros contados com a Aritmética aprendemos que, na multiplicação, os sinais comportam-se da seguinte maneira:

+ x + = +

+ x - = -

- x + = -

- x - = +

Diofanto foi, talvez, o primeiro matemático a expor estes fatos de maneira clara, demonstrado sua validade com base na chamada propriedade distributiva do produto em relação à soma e à subtração. É essa propriedade, por exemplo, que justifica escrever-se

a(b + c) = ab + ac

a(b – c) = ab – AC

a – b(c + d) = a – bc – bd

de onde decorrem as generalizações

+ x + = +

+ x - = -

- x + = -

Entretanto, as coisas requerem um pouco mais de raciocínio quando se trata de demonstrar que a multiplicação de dois números negativos dá um número positivo. Há, pelo menos, duas formas de se chegar a esta conclusão. Comecemos por uma bastante intuitiva. Suponhamos a operação.

a – b = c

O que acontece ao resultado desta subtração se aumentarmos o subtraendo b de um valor, digamos, igual a d, ou seja, qual será o valor de a – (b + d)? Evidentemente, se o subtraendo for aumentado de d, o resultado será e diminuído de d. Pelo mesmo raciocínio, se o subtraendo for diminuído de d, o resultado será aumentado de d, o que permite escrever:

se a – b = c

então a – (b – d) = c + d

ou a – b – (-d) = c + d

como a – b = c, tem-se

c – (-d) = c + d

e subtraindo c dos dois lados, tem-se

-(-d) = + d

e está demonstrado que (-) x (-) = +

A segunda contribuição de Diofanto à Matemática a merecer aqui um comentário especial refere-se à simbologia. Em sua época, o conceito de “Àlgebra” não havia ainda sido explicitado e as questões aritméticas ou as que hoje seriam chamadas de algébricas eram tratadas por meio de raciocínios expressos apenas por meio de palavras e não de símbolos. Um exemplo ilustra melhor o que foi dito. Seja o clássico problema: “ Em um terreiro existem cabras e galinhas, sendo 32 cabeças e 88 pés. Quantos animais de cada tipo existem em tal terreiro? Hoje chamaríamos de x e y, respectivamente, os números de cabras e galinhas, montaríamos em um sistema de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas e encontraríamos as respostas. Como o recurso aos símbolos não estava ainda disponível, o problema era resolvido da seguinte maneira: “ Se todos os animais existentes no terreiro fossem galinhas, haveria um total de 2 vezes 32 pernas, ou seja, 64 pernas. Como o total de pernas é 88, a diferença 88 menos 64, ou seja, 24 pernas, deve vir das cabras. Como cada cabra contribui com duas pernas para tal diferença, existem 24 dividido por 2, ou seja, 12 cabras no terreiro. Como há 32 animais, o número de galinhas é 32 menos 12, ou seja, 20.”

Newton Entra em Cena

Nunca, na HISTÓRIA DA CIÊNCIA, um sábio foi tão admirado, glorificado e endeusado, durante a própria vida e igualmente após sua morte, quanto o grande inglês Isaac Newton. E não foram poucos ou pequenos os motivos para tanto. O epitáfio gravado sobre o mármore branco de sua tumba diz: “Devem congratular-se os mortais por haver existido esta imensa glória do gênero humano”. Seu grande rival. Gottfried Wilhelm Leibniz, assim o descreveu à Rainha Sofia Carlota, da Prússia: “ Se considerarmos a Matemática, desde a origem dos tempos até a época em que viveu Newton, veremos que a obra deste representa, com vantagem, a sua metade mais importante”. Sobre ele chegou-se a declarar: “Disse Deus: ‘Faça-se Newton!’ E tudo foi luz”.

As ciências exatas estão nitidamente divididas em antes e depois de Newton e ninguém, como ele, pode aspirar, simultaneamente, aos títulos de o maior matemático e o maior físico de todos os tempos. Se não foi o maior dos matemáticos, nenhum dos que a ele se comparem foi tão grande na Física: se não foi o maior dos físicos, nenhum dos que a ele se comparem foi tão grande na Matemática.

Newton desfruta de um conceito excepcional no mundo científico em razão de seus feitos extraordinários nas seguintes áreas:

ü Matemática, pura e aplicada;

ü Sistematização das leis da Dinâmica;

ü Concepção da Lei da Gravitação Universal;

ü Teoria das Cores e óptica em geral;

ü Concepção e fabricação de instrumentos científicos, em especial telescópios e lentes¹².

Período de pouco mais de um ano, quando sua idade estava por volta dos 22 (1664-1665). Foi nesta época que ele investigou as regras de potenciação de binômios, generalizando para expoentes fracionários e negativos o que pelo menos Cardano, Tartaglia e Pascal já conheciam relativamente a potências inteiras e positivas. (Aquilo que na escola se costuma ensinar sob o nome Binômio de Newton não foi o verdadeiro objeto de seus estudos. O que ele descobriu foram as regras para elevar o binômio (a + b), por exemplo, à potência ½ ou a qualquer outro expoente racional fracionário ou inteiro negativo, o que conduz a série infinitas).

Conforme Newton relatou em uma carta escrita muitos anos depois, foi também em 1666, após ver uma maça desprender-se de um ramo, que ele começou a imaginar que a gravitação estendia-se até a órbita da Lua e mais além. Através das novas armas matemáticas por ele mesmo descobertas e de dados astronômicos colhidos por Kepler, deduziu a maravilhosa Lei da Gravitação Universal, segundo a qual “matéria atrai matéria na razão direta do produto das massas e na razão inversa do quadrado da distância” mas nada publicou na ocasião.

Isaac Newton faleceu em 1727, toda a Inglaterra chorou sua perda e a nobreza do país proporcionou-lhe o mais honroso dos sepultamentos. O grande filósofo francês François-Marie Arouet, universalmente conhecido por Voltaire,várias vezes necessitou exilar-se da França em razão das críticas e irreverências que dedicava aos governos de seu país e, naquela oportunidade, encontrava-se refugiado em Londres. A imagem dos funerais de Newton ficou indelevelmente marcada em sua memória e, muito mais tarde, já octogenário, quando dela se recordava, seus olhos brilhavam e o tom de sua voz tornava-se solene ao dizer estas palavras: “Vivi certa vez em um país onde um professor de Matemática,somente por ter sido grande em sua vocação, foi enterrado como um rei que proporcionou o bem a seus súditos”.

Newton está sepultado na Abadia de Westminster, em Londres, entre os reis do Império Britânico. Em junho de 1969, os Estados Unidos da América realizaram a maior façanha tecnológica de todos os tempos, ao fazer descer na superfície da Lua a nave espacial Àguia, tripulada por dois astronautas. Quem, naquela ocasião, visitou o túmulo de Newton encontrou ali uma pequena coroa de flores depositada por um grupo de estudantes americanos que passara por Londres. Em 4 palavras, aqueles jovens sintetizaram toda a gratidão que o mundo científico sentia, naquele momento, pelo homem que tornara possível a civilização moderna onde vivemos.

“ Tenho a impressão de ter sido uma criança brincando à beira-mar, divertindo-me em descobrir uma pedrinha mais lisa ou uma concha mais bonita que as outras, enquanto o imenso oceano da verdade continua misteriosos diante de meus olhos”. ISAAC NEWTON.

¹² Newton era dotado de grande habilidade manual e empregou-a continuamente na fabricação de instrumentos que utilizava em suas pesquisas.

ü APLICAÇÕES

1ª) Um dos fatores decisivos para a vitória dos países Aliados na Segunda Guerra Mundial foi a “quebra” do código secreto dos alemães pelos Estados Unidos Cifrar e decifrar mensagens têm importância estratégica tanto militar, quanto econômica, e é um trabalho que em geral envolve muita matemática e computação.Uma das formas mais simples de se enviar uma mensagem secreta é enviar uma expressão aritmética que, após ter seu resultado decomposto em fatores primos, indique as letras (cada fator primo representa uma letra em uma tabela pré-definida) que compõem o texto da mensagem.

Considere a seguinte tabela de conversão primos para letras:

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
A	E	I	O	U	B	C	D	F	G	H	J

41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83
L	M	N	P	Q	R	S	T	V	X	Z

A expressão 20² + 5x11 pode representar a palavra BOI, pois

20²+ 5x11 = 455 = 5 x 7 x 13 = I⁵ x B⁷ x O¹³

e as letras I, O e B podem ser reordenadas de modo a formar a palavra BOI.

Baseado nessa tabela, a expressão aritmética

8 x 5³ – pode representar a palavra.

(A) VAI (B) RUA (C) SIM (D) BOM (E) BEM

2ª) Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal * . Ela funciona assim.

a * b = (a + 1) x (b – 1)

Por exemplo 3*5 = (3 + 1) x (5 – 1) = 16. Se a e b são inteiros positivos tais que a*b = 24 e b*a = 30, quanto vale a + b?

a) 11 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18

3ª) Davi estava fazendo uma conta no caderno quando sua caneta estragou e borrou quatro algarismos, como na figura. Ele se lembra que só havia algarismos ímpares na conta. Qual é a soma dos algarismos manchados?

a) 14 b) 18 c) 20 d) 26 e) 28

4ª) Na pirâmide a seguir, para as camadas acima da base, o número colocado em cada tijolo é a soma dos números colocados nos dois tijolos nos quais ele se apóia e que estão imediatamente abaixo dele:

104

404

O número do tijolo situado na base da pirâmide e apontado pela seta é de:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

5ª) Comparando-se os preços de certas frutas, um comerciante verificou que:

15 pêras = 9 maçãs

25 abacates = 15 maçãs

16 laranjas = 12 abacates

Então, nove pêras podem ser trocadas por:

a) 15 laranjas b) 12 laranjas c) 6 abacates d)8 abacates e) 5 abacates

6ª) Se os números [ 18, 14, 20, 17, 5 ] é equivalente a Soure, os valores de [ 10, 14, 1, 13, 5,18 ] é igual a?

Obs: (Considere o alfabeto sem as letras: k, w e y)

7ª) Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo das unidades. Por exemplo ao escrever 123 e apertar D, tem-se 246.Apertando T, obtém-se 24. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em seqüência D, T, D e T, descobrirá o número.

a) 79 b) 96 c) 98 d) 123 e) 67

8ª) Analizando-se um pedaço de carne de gado, constatou-se que 1/6 do peso total era de gordura e 2/5 de osso. Se a parte sem gordura e sem osso pesou 520 gramas, o peso total do pedaço de carne é de:

a) 1kg e 200g b) 1kg e 600g c) 2kg d) 2kg e 30g e) 2kg e 600g

9ª) A família do seu Jaime ficou entusiasmada com o anúncio abaixo, tanto que eles passaram cinco dias na praia. Entre refeições e diárias acabaram gastando ao todo 900 reais. Descubra quantas pessoas da família foram.

Apto. próximo à praia, com acomodação para até 8 pessoas

Diária: 100 reais

Mais refeição opcional

(16 reais ao dia por pessoa)

a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 7

10ª) Um grupo de alunos da UNITERCI (Universidade da Terceira Idade) Programou uma viagem que custaria no total R$ 900,00. Algumas semanas antes da partida, duas pessoas se juntaram ao grupo, e cada participante pagou R$ 75,00 a menos. O número de pessoas que iniciaram faria a viagem era:

a) 9 b) 4 c) 13 d) 7 e) 15

11ª) Um terreno retangular, cujas dimensões são 200 m e 300 m, será usado para abrigar famílias remanejadas da área de macrodrenagem. Pretende-se fazer lotes de 20 m x 20 m para cada família e usar uma área equivalente a 20% da área total para um complexo de lazer e para circulação. Quantas famílias podem ser alocadas?

a) 400 b) 120 c) 300 d) 150 e) 200

12ª) Os números colocados nos quadrados seguem uma ordem lógica.

Observando os números atentamente. O número N é igual a:

a)10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

13ª) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1.000 a 9.999. Marcelo comprou todos os bilhetes nos quais o algarismo sete aparece exatamente três vezes e o zero não aparece. Quantos bilhetes Marcelo comprou?

a) 32 b) 36 c) 45 d) 46 e) 48

14ª) Durante uma viagem choveu 5 vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou a viagem?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

15ª) Uma professora de Matemática escreveu uma expressão no quatro-negro e precisou sair da sala antes de resolvê-la com os alunos. Na ausência da professora Carlos, muito brincalhão foi ao quatro-negro e trocou todos os algarismos 3 por 5, os 5 por 3, o sinal de + pelo de x e o de x pelo de +, e a expressão passou a ser (13 – 5) x (53 + 2) – 25 . Qual é o resultado da expressão que a professora escreveu?

a) 20 b) 56 c) 67 d) 59 e) 45

16ª) Você já viu um truque numérico? Aqui vão os passos de um truque numérico:

i) Escolha um número qualquer.

ii) Multiplique-o por 6.

iii) Do resultado subtraia 21.

iv) Divida agora este novo resultado por 3.

v) Deste último resultado subtraia o dobro do número que você escolheu.

a) Experimente fazer esses cinco passos três vezes, iniciando cada vez com um número diferente. Qual foi o resultado de seu experimento?

b) A seguir, usando a letra x para representar o número que você pensou, mostre por que os resultados do item (a) não são apenas uma coincidência, mas sim um fato matemático.

17ª) Sejam a = 2⁷⁰⁰⁰ , b = 5³⁰⁰⁰ e c = 13²⁰⁰⁰.Mostre que b < a < c.

18ª) Mostre que 270 é o número total de divisores positivos de

10! =10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

19ª) Os gráficos das funções reais f(x) = x² - b e g(x) = x – 5/4 possuem um único ponto em comum. O valor de b é:

a) 0 b) 1 c) 4 d) -1 e) -5/4

20ª) O valor exato de 6666662 – 3333342 é:

a)333332•10^6* b) 333334•10⁹ c)333332•10⁸ d) 333334•10⁸ e) 333332•10¹⁰

21ª) A metade do número 2¹² + 3.2¹⁰ é.

a) 2⁶ + 3x2 b) 2 + 3x2 c) 2¹¹ + 3x2⁵ d) 2¹¹x7 e) 2⁹x7

22ª)

+ = 14 Calcule + + =

x = 80

x 6 = 60

a) 10 b) 11 c) 12 d) 512 e) 729

23ª) Assinale a opção correta:

x +

a) b) c) d)

24ª) Se + = 6

+ 1 = 3

- 2 = 10

Calcule X X + =

a) 12 b) 96 c) 100 d) 112 e) 124

25ª) Flavia, aluna do curso de matemática do Município de Rondon, preencheu com os algarismos 1,2,3 e 4 as dez casas que estão sem algarismos na tabela, de modo que em nenhuma linha e em nenhuma coluna aparecessem dois algarismos iguais. Qual a soma dos números que Flavia colocou nas casas marcadas com bolinhas pretas?

a)10

b)11

c)12

d)13

e)14

26ª) Considere a série seguinte e determine os valores de x, y e z.

5 1 4 4

8 3 2 1 8 4 9 5

11 6 3 2 12 8 14 10

9 y

Z 6

a) x=6 ; y=3; z=10 b) x=6 ; y=3; z=12 c) x=12 ; y=3; z=6 d) x=9 ; y=3; z=12

e) x=6 ; y=4 ;z=12

27ª) Contas de Papagaio:

Antônio tem um papagaio que faz contas fantásticas com números inteiros, mas não sabe nada sobre decimais. Quando Antônio sopra um número em seu ouvido, o papagaio multiplica esse número por 5, depois soma 14, divide o resultado por 6, finalmente subtrai 1 e grita o resultado.

a) Se Antônio soprar o número 8, qual número o papagaio grita?

b) Se o papagaio gritou 3, qual o número que Antônio soprou em seu ouvido?

c) Porque o papagaio nunca grita o número 7?

28ª) Analisando os dados dos candidatos inscritos para o último processo seletivo realizado pela UEPA. Nos cursos de MATEMÁTICA e ENGENHEIRA DE PRODUÇÃO, observou-se que:

· 75% do número total de candidatos optou pelo curso de MATEMÁTICA;

· 60% do número total de candidatos eram homens;

· 40% do número total de candidatos inscritos para o curso de ENGENHARIA DE PRODUÇÃO eram homens;

· 180 mulheres optaram pelo curso de ENGENHARIA DE PRODUÇÃO;

O número de candidatos do sexo masculino que optaram pelo curso de MATEMÁTICA foi de:

29ª) Abaixo apresentam-se as três primeiras linhas de uma tabela composta por mais de 20 linhas. O padrão de organização observado mantém-se para a tabela toda.

1 2 4 8 1

1 3 9 27 81

1 4 16 64 256

. . . . .

Nessa tabela, o número localizado na 7ª linha e 3ª coluna é:

a) 64 b) 49 c) 36 d) 8 e) 7

30ª) Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro-negro, o professor havia escrito os números naturais ímpares da seguinte maneira:

3 5

7 9 11

13 15 17 19

21 23 25 27 29

O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a décima linha. Somando os números dessa linha, ele encontrou.

a) 800 b) 900 c) 1000 d) 1100 e) 1200

31ª) Para enumerar as páginas de um livro foram utilizados 762 algarismos. Esse livro possui.

a) 720 páginas b) 358 páginas c) 312 páginas d) 290 páginas e) 225 páginas

32ª) Uma loja de informática anuncia a venda de uma impressora de modelo A, que imprime 5.000 páginas por hora. Uma loja concorrente anuncia outra impressora de modelo B, que imprime 3.000 páginas por hora. A impressora de modelo A imprime, sem interrupção, durante 4 horas e meia, as provas de um concurso. Em quanto tempo a impressora de modelo B realiza, sem interrupção, a impressão das provas do mesmo concurso?

a) 6 horas e 20 min. b) 7 horas e 30 min. c) 8 horas e 50 min. d) 9 horas e 30 min.

e) 10 horas e 50 min.

33ª) Em um país da África, o presidente deve permanecer 5 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos; e os deputados, 4 anos. Se, no ano de 1980 houve eleição para os três cargos, a próxima eleição simultânea para os mesmos cargos será em

a) 2040 b) 2042 c) 2044 d) 2046 e) 2048

34ª) O diretor de uma grande loja de departamentos anunciou a contratação de vendedores para trabalharem como temporários. A proposta era pagar a esses vendedores R$ 1,00 no primeiro dia de trabalho e, nos demais dias, o dobro do que cada vendedor ganhara no dia anterior. Após 10 dias de trabalho, os vendedores terão recebido

a) R$ 1.012,00 b) R$ 1.015,00 c) R$ 1.017,00 d) R$ 1.020,00 e) R$ 1.023,00

35ª) Se x é um número real tal que + = 4, então o valor de + é.

36ª) Num ônibus urbano, encontram-se 76 passageiros, dos quais 26 são mulheres e 42 estão sentados. Se o número de homens sentados é o dobro do número de mulheres sentadas, logo o número de homens em pé é

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

ü GEOMETRIA

A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o Homem teve de medir terrenos.

Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo sobre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é Retângulo.

As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e babilônica são o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria.

Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilônia à China, passando pela civilização Hindu. Os babilônicos tinham conhecimentos matemáticos que provinham da agrimensura e comércio e a civilização Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo.

A Geometria como ciência dedutiva apenas tem início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predecessores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudoxio (408 - 355 a.C.).

Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides.

Euclides (323 - 285 a.C.) deu um grande contribuo para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um método de demonstração rigorosa só muito recentemente superado.

Em tempos muito remotos, um jovem, resolvendo ser espirituoso, perguntou a seu mestre qual o lucro que poderia lhe advir do estudo da geometria.
Idéia infeliz: o mestre era o grande matemático grego Euclides, para quem geometria era coisa muito séria. E a sua resposta à ousadia foi arrasadora: chamando um escravo, passou-lhe algumas moedas e mandou que as entregasse ao aluno que a partir daquele momento deixou de ser aluno de Euclides.

Esse rapaz - é preciso dizê-lo - não foi o único a sofrer nas mãos de Euclides por causa da geometria. Além dele, muita gente passou maus bocados com o grande grego, inclusive o próprio faraó do Egito. Os problemas de Ptolomeu I surgiram no dia em que pediu a Euclides que adotasse um método mais fácil para ensinar-lhe geometria e recebeu a lacônica resposta: "não existem estradas reais para se chegar à geometria".

Muito antes de Euclides, a geometria já era assunto corrente no Egito. Agrimensores usavam-na para medir terrenos, construtores recorriam a ela para projetar suas pirâmides e com ela se infernizava a juventude, no momento de aprender a manejar a constante Pi - dor de cabeça séria também para os estudantes daquela época. Tão famosa era a geometria egípcia, que matemáticos gregos de nome, como Tales de Mileto e Pitágoras, se abalavam de sua terra para ir ao Egito ver o que havia de novo em matéria de ângulos e linhas.

Foi com Euclides, entretanto, que a geometria do Egito se tornou realmente formidável, fazendo de Alexandria o grande centro mundial do compasso e do esquadro, por volta do século III a.C.Tudo começou com os "Elementos", um livro de 13 volumes, no qual Euclides reuniu tudo que se sabia sobre matemática em seu tempo - aritmética, geometria plana, teoria das proporções e geometria sólida.

Sistematizando a grande massa de conhecimentos que os egípcios haviam adquirido desordenadamente através do tempo, o matemático grego deu ordem lógica e esmiuçou a fundo as propriedades das figuras geométricas, das áreas e volumes, e estabeleceu o conceito de lugar geométrico. Depois, para completar, enunciou o famoso "Postulado das Paralelas", que afirma: "Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos do mesmo lado, menores que dois retos, estas outras, prolongando-se ao infinito, encontrar-se-ão no lado onde os ângulos sejam menores do que dois retos."

Para Euclides, a geometria era uma ciência dedutiva que operava a partir de certas hipóteses básicas - os "axiomas". Estes eram considerados óbvios e, portanto, de explicação desnecessária. O "Postulado das Paralelas", por exemplo, era um axioma - não havia porque discuti-lo. Acontece, porém, que no século XIX os matemáticos resolveram começar a discutir os axiomas. E tantas fizeram que acabaram verificando um fato surpreendente: bastava por de parte o "Postulado das Paralelas" - a viga mestra do sistema euclidiano - para tornar possível o desenvolvimento de novos sistemas geométricos.

O matemático Lobatchevsky foi o primeiro a declarar sua independência, criando a sua própria teoria. Um outro mestre da geometria, Riemann, seguiu o exemplo e criou um sistema diferente. Essas novas concepções, que se tornaram conhecidas pelo nome de "teorias não-euclidianas", permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein, o que veio provar que essas teorias, ao contrário do que muitos afirmavam, tinham realmente aplicações práticas.

A Teoria da Relatividade, estabelecendo que o Universo é finito, eliminou a velha noção euclidiana do mundo sem fim. E o progresso contínuo da matemática moderna pouco a pouco foi modificando os conceitos do mestre de Alexandria.
Vivemos em novos tempos, é bom que haja idéias novas. Mas não se pode deixar de sentir respeito pelo talento admirável do velho Euclides, que, enquanto criava seu prodigioso sistema matemático, ainda achava tempo para estudar óptica e escrever extensamente a respeito; para estudar acústica e desenvolver brilhantemente o tema, principalmente na parte que se refere a consonâncias e dissonâncias.

Os escritos que deixou sobre esse assunto podem ser considerados como um dos primeiros tratados conhecidos sobre Harmonia Musical. Além disso, convém não esquecer que, para o homem chegar à conclusão de que o Universo tem fim, teve que se utilizar durante dois milênios da matemática criada por Euclides - homem que acreditava no infinito.

Figuras regulares

Outra das formas geométricas mais facilmente reconhecíveis na Natureza é o hexágono regular (figura com seis lados de igual comprimento e cujos ângulos têm todos a mesma amplitude).

Tratando-se de uma das configurações que permitem aproveitar ao máximo o espaço - as outras são os triângulos eqüiláteros, ou seja, figuras com os três lados e os três ângulos iguais, e os quadrados - , encontramo-la, por exemplo, nos favos de mel das colméias ou nas "escamas" que recobrem a casca do ananás, as quais, para além do seu formato hexagonal, formam também espirais, de acordo com os números de Fibonacci, como iremos ver mais à frente.

Podemos ver na figura seguinte o conhecido padrão hexagonal que encontramos nos favos das colmeias.

Sólidos geométricos

O mundo mineral brinda-nos igualmente com inúmeros exemplos matemáticos, nomeadamente no que se refere a sólidos geométricos.

Um dos mais famosos de todo o Mundo é a chamada Calçada dos Gigantes, um vasto aglomerado de colunas de rocha basáltica vulcânica, em forma de prismas de diferentes alturas, na sua maioria hexagonais, mas também pentagonais e ainda polígonos irregulares com 4, 7, 8, 9 e 10 lados, que se erguem junto à costa setentrional do Planalto de Antrim, na Irlanda do Norte.

Também a esfera é fácil de encontrar na Natureza.


ü APLICAÇÔES 1ª) O tampo de uma escrivaninha do Departamento do Pólo da UEPA em Mojú, é retangular, tem a medida de seu comprimento igual ao dobro da medida de sua largura e seu perímetro é 4,80m. Na compra de um vidro que cubra exatamente esse tampo, uma vidraçaria cobra R$ 55,00 o metro quadrado e oferece 5% de desconto para pagamento à vista. Supondo que a compra tenha sido feita conforme as condições apresentadas. A UEPA, deu a vidraçaria R$100,00 e recebeu de troco a quantia de R$..............R: R$ 33,12

2ª) A rampa de um hospital em Cachoeira do Arari tem sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é...........................R: 5,6 metros

3ª) Com os conhecimentos de geometria plana,demonstre com habilidades e competências que a terça parte da soma dos ângulos θ + β + ∂, dos quadriláteros abaixo, é a raiz quadrada de 1.600. Sendo que, ABCD é um quadrado e CMD é um triângulo eqüilátero. R: (30º + 75° + 15°)

A D A B

_{C D}

4ª) Qual área da figura abaixo, considere = 1,4 R: 523,6 cm²

MODELADO A= 10 cm

h cm

12 cm

5ª) A soma de todas as arestas de um cubo mede 72cm. Qual área total do cubo. R: 216 cm²

9ª) Determine a área lateral e a área total de um prisma regular de 4cm de altura e base como um hexágono de 6 cm de lado.R: 144cm² e 36(4 + 3√3)cm²

6ª) Na figura abaixo, a distância da casa à estrada é 1,2km.

1,6km

1,2km

a) Qual é a menor distância da árvore à caixa d’água? R: 2,5km

b) Qual é a menor distância da casa à árvore? R: 1,5km

c) Qual é a menor distância da casa à caixa d’água? R: 2km

7ª) Uma formiga está em um vértice A de um cubo de aresta a. desejando pegar um grão de açúcar no vértice oposto do cubo, pergunta-se: considere a = 1,4

a) Qual o menor caminho que a formiga deverá percorrer para pegar o grão de açúcar, pela superfície do cubo?

b) Qual o menor caminho a percorrer, se a formiga pudesse caminhar, em linha reta, por dentro do cubo?

8ª) Num terreno em forma de triângulo retângulo, conforme nos mostra a figura, deseja-se construir uma casa retangular cujas dimensões são indicadas, em metros, por x e x/2. Nessas condições, determine:

a)A medida x;R: 24m

b)A área ocupada pela casa;R: 288m²

CASA

30m

40m

9ª) Determine a área lateral e a área total de um prisma regular de 4cm de altura e base como um hexágono de 6 cm de lado.

R: 144cm² e 36(4 + 3√3)cm²

10ª) Aumentando de 1 m a resta de um cubo, sua área total aumenta de 246 m². O volume do cubo original será de quantos metros cúbicos......................... R: 8.000m³

11ª) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:

P Rua PQ Q Rua QR R

2km 4km

3km Rua SQ

Rua TP Rua SR

3km S

Rua TS

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Qual o perímetro, em quilômetros, desse circuito?

R: 16,5km

12ª) Em relação ao triângulo da figura:

18m 24m

B ^xb C

Determine x + y + z .

R: 4,44

13ª) Observe a figura:

Nessa figura, a área do retângulo B é de 32 cm². Então, o valor da área do retângulo A é:

R: 28 cm²

4 cm

15ª) Um triângulo isósceles tem perímetro de 32m e uma altura de 8m com relação à base (isto é com relação ao lado diferente dos demais). Calculando a área desse triângulo, encontramos qual número como resultado? R: 48 m²

14ª) O manto que veste uma imagem da Virgem de Nazaré tem o formato de um cone circular reto de 24 cm de altura e 20 cm de diâmetro (veja figura). Quanto se gastou de tecido, em cm², para confeccionar este manto? R: 360 cm²

16ª) Um bar da cidade de Tucumã em seu “ REVEILLON”, ofereceu a seus clientes um barril de chopps e tulipas, onde:

O barril tinha formato de um cilindro circular reto com 20 cm de diâmetro (d) e 125 cm de altura (h).
A tulipa tinha formato de um cone reto com 5 cm de raio e 15 cm de altura (h).

Com base nesses dados, pergunta-se:

a) Qual o volume do barril? MODELADO V = S_b x h R: 12500 cm³

b) Qual o volume da tulipa? MODELADO V = 1/3 S_b x h R: 125 cm³

c) Quantas tulipas foram servidas deste barril, admitindo-se que não houve perda? R: 100 tulipas

17ª) Na figura, a área da região hachurada mede, em u.a. R: 2(15 - 2 ) u.a

18ª) A polpa de açaí pode ser utilizada na fabricação de sorvete. Vinhos, licores, doces e etc. Uma das sobremesas prediletas dos paraenses é o sorvete de açaí, que em geral, é servido em bolas de formato esférico de 2cm de raio. Um dos tipos de cascalho (recipiente onde são colocadas essas bolas) tem formato de um cone circular reto de 4cm de raio e altura de 10cm. Qual a quantidade de bolas de sorvete necessárias para encher exatamente esse cascalho? R: 5 bolas

19ª) Entre os brindes distribuídos num aniversário de criança, estão um chapéu cônico e uma bola. Uma das crianças colocou a bola sobre uma mesa e cobriu-a totalmente com o chapéu. Se o volume do chapéu é 96 cm³, seu raio é de 6 cm, e ele tangencia a bola, determine:

a) A área da superfície da bola. MODELADO: A_área = 4

R: 36 cm²

b) A superfície lateral do chapéu. MODELADO: A_lateral
=

R: 60 cm²

20ª) Calcule o perímetro do triângulo isóscele de 16 cm de base e 6 cm de altura.

R: 36 cm

21ª) Calcule a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, no triângulo retângulo de catetos 12 cm e 16 cm.

R: 48/5 cm, 36/5 cm e 64/5 cm

22ª) Uma escada de 2,5 m de altura está apoiada em uma parede e seu pé dista 1,5 m da parede. Determine a altura que a escada atinge na parede, nessas condições.

R: 2 m

23ª) A altura de um retângulo mede 8 m, a diagonal excede a base em 2 m.Calcule a diagonal. R: 17 m

24ª) A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2 m. Determine a base, se o perímetro é de 36 m.

R: 10 m

25ª) Calcule a área da figura sombreada, sendo ABCD um quadrado.

R:4( - 2)

26ª) Calcule a área da parte sombreada, sabendo que o quadrilátero dado é um quadrado de lado a.

R: (

27ª) Calcular em litros o volume de uma caixa d’água em forma de prisma reto, de aresta lateral 6 m, sabendo-se que a base é um losango cujas diagonais medem 7 m e 10 m.

R:210000

28ª) Ao congelar-se, a água aumenta de o seu volume. Calcule o volume de água a congelar para obter-se um bloco de gelo de 8 dm,4 dm e 3 dm

R:90 dm³

29ª) Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-d’água cúbica para que ela possa conter 8000 de água?

R: 2 m

30ª) A diagonal de uma face de um cubo mede d. Calcule, em função de d, a medida da diagonal do cubo.

31ª) A área lateral de um prisma regular triangular é o dobro da área de uma de suas bases. Sabendo que uma aresta lateral desse prisma mede m, Calcule seu volume.

R: 216 m³

32ª) Na figura ao lado, supondo = 3, a área do círculo inscrito no triângulo isósceles é 108.Então, calcule a área da região sombreada.

R: 84

33ª) Numa pirâmide regular hexagonal, a aresta da base tem 12 cm e a aresta lateral tem 20 cm. Calcular o volume da pirâmide.R = 1.440√3 cm².

34ª) Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 8 cm. Sabendo que a altura da pirâmide é 3 cm, calcular a área lateral e a área total dessa pirâmide.R: 80 cm² e 144 cm²

35ª) Determine o volume de uma pirâmide triangular regular de altura 9 cm e aresta da base 6 cm.R: 81√3 cm³

36ª) A diagonal de um paralelepípedo mede √ m. Calcule o volume do paralelepípedo, sabendo que as medidas das três arestas são números inteiros e consecutivos. R: 6m³.

37ª) A base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m, 5m e 8m, e a altura vale 3m. O seu volume é de.R:36m³

38ª) Um terreno retangular, cujas dimensões são 400m e 500m, será usado para para abrigar famílias remanejadas da área de macrodrenagem. Pretende-se fazer lotes de 20mx20m para cada família e usar uma área equivalente a 20% da área total para um complexo de lazer e para circulação. O número de famílias que poderão ser alocadas, é. R: 400 famílias.

39ª) Seja o OCTÁGONO EFGHIJKL inscrito num quadrado de 15 cm de lado, conforme mostra a figura abaixo.

A E L D

^G ^J

^B^H^I^C

Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmento congruentes entre si, então a área do OCTÁGONO, em centímetros quadrados, é:

OBS: Resolva e Mostre a resolução de duas maneiras.R: 175 cm²

40ª) Um terreno retangular foi dividido em quatro lotes retangulares, três dos quais são conhecidas as áreas, como ilustra a figura a seguir.

11m²

5m²

13m²

A área total do terreno, em metros quadrados, é: R: 57,6

41ª) Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo θ com a reta s. Se PQ = 5R, então tagθ vale: t

s ^Q ^P

42ª) “A Alça Viária inclui quatro pontes sobre os rios Guamá, Acará e Moju, além de pontes pequenas ao longo do traçado de 91.000m, sendo 67.500m de rodovias. (...) A ponte sobre o rio Guamá é do tipo estaiada porque, nesse estilo, o número de pilares no canal de navegação é de apenas dois, o que reduz em muito a interferência no meio ambiente, enquanto uma ponte convencional teria no mínimo sete pilares.” (Fonte: www.setrans.pa.gov.br/reportagens

175,10m

A 28,13 m 14,15m 36,87m 23,15m 12,8m

20m

240m A

60m

Rio Guamá

Considerando o enunciado acima, partindo sempre do mesmo ponto A conforme ilustram as figuras, então afirma-se que uma relação trigonométrica válida para os ângulos e nessas condições é:

a) tg tag b) tg tag c) tg tag d) tg tag

43ª) Os babilônios utilizavam a fórmula A = para determiner aproximadamente a área de um quadrilátero com lados consecutivos de medidas a, b, c, d. Para o quadrilátero da figura a seguir, a diferença entre o valor aproximado da área obtido utilizando-se a fórmula dos babilônicos e o valor exato da área é.

a) 11/4 b) 3 c) 13/4 d) 4 e) 21/4

44ª) Dois cavaletes de alturas iguais a 1m e 1,5m estão afastados 0,5m um do outro. Uma prancha deve ficar apoiada sobre os dois cavaletes e tocar o chão a x metros do cavalete mais baixo, conforme a figura seguinte.

1,5m

0,5m

∂

Entâo o ângulo de inclinação ∂ , entre a prancha e o chão, em radianos, é igual a.

45ª) Nas terras do major havia um curral, em forma de um retângulo (ABCD), com 162 m² de área. A parte MNPB deste curral, de forma quadrada, teve de ser isolada, para recolhimento dos bezerros. Considerando que AM = 12m e CP =3m, a área, em m², da parte isolada é:

^A ^M ^B

n ^P

D C

a) 16m² b) 36m² c) 25m² d) 16m² e) 100m²

46ª) Preocupado com a preservação da natureza, um proprietário de terras resolveu replantar árvores nativas num terreno retangular, com um perímetro de 50 km e uma área de 150 km².As dimensões da largura e do comprimento, em km, do terreno onde será feito o plantio são:

a) 10 e 20 b) 30 e 12 c) 20 e 15 d) 10 e 15 e) 10 e 5

ü PENSAMENTO LÓGICO

Aristóteles (em grego Αριστοτέλης) nasceu em Estagira, na Calcídica (384 a.C. – 322 a.C.). Filósofo grego, aluno de Platão e preceptor do imperador Alexandre, o Grande, da Macedônia. Fundou em Atenas, no ano de 335 a.C, a escola Liceu, voltada para o estudo das ciências naturais. É considerado um dos maiores pensadores de todos os tempos e criador do pensamento lógico.Seus pensamentos filosóficos e idéias sobre a humanidade têm influências significativas na educação e no pensamento ocidental contemporâneo. Aristóteles é considerado o criador do pensamento lógico. Suas obras influenciaram também na teologia medieval da cristandade. Seus estudos filosóficos baseavam-se em experimentações para comprovar fenômenos da natureza.

Aristóteles figura entre os mais influentes filósofos gregos, ao lado de Sócrates e Platão, que transformaram a filosofia pré-socrática, construindo um dos principais fundamentos da filosofia ocidental. Aristóteles prestou contribuições fundamentais em diversas áreas do conhecimento humano, destacando-se: ética, política, física, metafísica, lógica, psicologia, poesia, retórica, zoologia, biologia, história natural. É considerado por muitos o filósofo que mais influenciou o pensamento ocidental. O filósofo valorizava a inteligência humana, única forma de alcançar a verdade. Fez escola e seus pensamentos foram seguidos e propagados pelos discípulos. Pensou e escreveu sobre diversas áreas do conhecimento: política, lógica, moral, ética, teologia, pedagogia, metafísica, didática, poética, retórica, física, antropologia, psicologia e biologia. Publicou muitas obras de cunho didático, principalmente para o público geral. Valorizava a educação e a considerava uma das formas crescimento intelectual e humano.Sua grande obra é o livro Organon, que reúne grande parte de seus pensamentos.Por ter estudado uma variada gama de assuntos, e por ter sido também um discípulo que em muito sentidos ultrapassou o mestre, Platão, é conhecido também como O Filósofo. Aristóteles também foi chamado de o estagirita, pela terra natal, Estagira. Pensamento de Aristóteles sobre a educação:

“A educação tem raízes amargas, mas os frutos são doces”. Aristóteles (D.L. 5, 18).

Frases de Aristóteles

“O verdadeiro discípulo é aquele que consegue superar o mestre.”
“A principal qualidade do estilo é a clareza.”
“O homem que é prudente não diz tudo quanto pensa, mas pensa tudo quanto diz.”
“O homem livre é senhor de sua vontade e somente escravo de sua própria consciência.”
“Devemos tratar nossos amigos como queremos que eles nos tratem.”
“O verdadeiro sábio procura a ausência de dor, e não o prazer.”

ü APLICAÇÔES

1ª) Qual o próximo número da sequência?

13, 16, 22, 26, 38, ?

a) 73 b) 62 c) 52 d) 83 e) 72

2ª) Na seqüência (1,2,4,7,11,16,22,........) o número que sucede 22 é.

a) 29 b) 25 c) 30 d) 31 e) 32

3ª) Escreva o número seguinte nessa seqüência.

0, 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 ,.....

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

4ª) Qual é o próximo número da seqüência:

2 , 10, 12, 16, 17, 18, 19,...............

a) 10 b) 22 c) 200 d) 21 e) 27

5ª) Três homens querem atravessar um rio. O barco que possuem suporta no máximo 130 quilogramas. Eles “ pesam “ 60, 65 e 80 quilogramas. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco?

6ª) Dois pais e dois filhos entraram num bar e pediram três refrigerantes. Cada um tomou uma garrafa inteira, ou seja, nenhum deles deixou de beber o seu refrigerante. Como isso foi possível?

7ª) Quem escreve todos os números inteiros de 1 a 100, quantas vezes escrever o número 9 ?

8ª) Observe a sucessão seguinte e determine o valor de “x”.

0 , 4 , 16 , 36 , 64 , 100 , 144 , 196 , 256 , x

a) 243 b) 324 c) 540 d) 450 e) 230

9ª) Todas as coisas do Universo estão sempre fazendo duas coisas. O que?

10ª) Uma propriedade lógica define a sucessão: SEGURO, TERRA, QUALIDADE, QUILATE, SEXTANTE, SABIO,.....

a) JADE b) CHINÊS c) TRIVIAL d) DOMÍNIO e) ESCRITURA

11ª) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalista. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira, Norton à direita do Paulista. Por sua vez Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim.

a) Paulo é paulista e Vasconcelos é Baiano.

b) Paulo é carioca e Vasconcelos é paulista.

c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.

d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.

e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

12ª) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalista. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira, Norton à direita do Paulista. Por sua vez Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim.

a) Paulo é paulista e Vasconcelos é Baiano.

b) Paulo é carioca e Vasconcelos é paulista.

c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.

d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.

e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

13ª) Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de jornal; e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria.Logo.

a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria;

b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria;

c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal.

d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina.

e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria.

14ª) Qual o valor de “x” na sucessão: 1 , 2 , 6 , 39 , x ?

a) 1625 b) 1520 c) 1525 d) 1620 e) 1635

15ª) Digam-me, doutores matemáticos, qual é o número que, multiplicado por 7, dividindo o produto por 2, acrescentando 6 unidades ao quociente, multiplicando o resultado por si mesmo e, depois de extrair a raiz quadrada, acrescentar 9 unidades e dividir por 5, dá o próprio número?

16ª) Utilizando uma só vez um dos números 1, 3, 5, 6, e 8, e escolhendo as operações convenientes, obtenha o número 237.

17ª) Um tijolo pesa 2 quilos mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio?

18ª) Cinco times, Antares, Bilbão, Cascais, Deli e Elite, disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posições na classificação geral. Sabe-se que:

Antares está em primeiro lugar e Bilbão está em quinto;
Cascais está na posição intermediária entre Antares e Bilbão;
Deli está à frente do Bilbão, enquanto que o Elite está imediatamente atrás do Cascais.

Nessas condições, é correto afirmar que:

a) Cascais está em segundo lugar.

b) Deli está em quarto lugar.

c) Deli está em segundo lugar.

d) Elite está em segundo lugar.

e) Elite está em terceiro lugar.

19ª) Três amigos – Ari, Beto e Carlos – se encontram todos os fins de semana na feira de carros antigos. Um deles tem um gordini, outro tem um sinca e o terceiro, um fusca. Os três moram em bairros diferentes. (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Além disso, sabe-se que:

I. Ari não tem um gordini e mora em Buritis;

II. Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do fusca;

III. O dono do gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do grupo.

Gordini Sinca Fusca Buritis P. Grande Cruzeiro 45 50 55

Ari ...........................................................................................................

Beto ...........................................................................................................

Carlos...........................................................................................................

A partir das informações acima, é correto afirmar que.

a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do sinca.

b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é proprietário do gordini.

c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é proprietário do gordini.

d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do fusca.

20ª) A soma de três algarismos iguais cujo o resultado é 12, que não pode ser 4+4+4.

21ª) Roberto, Sérgio, Carlos, Joselias e Auro estão trabalhando em um projeto, onde cada um exerce uma função diferente: um é Economista, um é estatístico, um é administrador, um é advogado, um é contador.

· Roberto, Carlos e o estatístico não são Paulistas.

· No fim de semana, o contador joga futebol com Auro.

· Roberto, Carlos e Joselias vivem criticando o advogado.

· O administrador gosta de trabalhar com Carlos, Joselias e Sérgio, mas não gosta de trabalhar com o contador.

Pode-se afirmar que Sérgio é o:

a) Economista b) Estatístico c) Administrador d) Advogado e) Contador

22ª) Considere os seguintes pares de números:(3,10) (1,8) (5,12) (2,9) (4,10)

Observe que quatro desses pares têm uma característica comum. O único par que não apresenta tal característica é.

a) (3,10) b) (1,8) c) (5,12) d) (2,9) e) (4,10)

23ª) Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM, BOI, BOL e ASO, sabe-se que:

· MÊS não tem letras em comum com ela.

· SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição.

· BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição.

· BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição.

· ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição.

A sigla a que se refere o enunciado dessa questão é:

a) BIL b) ALI c) LAS d) OLI e) ABI

24ª) Um relógio de parede dá uma badalada à uma hora, duas badaladas às duas horas, três badala das às três horas e assim por diante. Que horas são quando ele está dando a sua 42.ª badalada do dia?

25ª) A torneira A enche um tanque em 3 horas, e a torneira B, em 4 horas. Um sifão esvazia o tanque em 6 horas. Funcionando os três juntos, e o tanque estando vazio, qual o tempo para enchê-lo?

26ª) Calcular o valor de x na equação:

27ª) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo.

Ana Júlia Marisa

Vestido

Sapato

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.

b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.

c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.

d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.

e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.

28ª) A cidade de Belém tem 393 anos e o seu mercado do Ver-o-Peso tem quase a mesma idade. Ele é um dos símbolos da cidade de Belém e completou aniversário no dia 26/03/2009. São muitos anos de história de um comércio de frutas, peixes e ervas que remonta ao início da história da cidade e que hoje é uma das maiores feiras da América Latina. Mas, quantos anos exatamente tem o Ver-o-Peso? Considerando-se que a idade desse mercado é um número de três algarismos e que a soma dos três algarismos vale 13 e o algarismo das dezenas vale 8, é correto afirmar que o Ver-o-Peso tem .

a) 372 anos b) 381 anos c) 382 anos d) 481 anos e) 580 anos

29ª) Assinale a alternativa que corresponde ao 5° símbolo da sequência

30ª) Uma lesma deve subir um poste de 10 m de altura. De dia Sobe 2 m e à noite desce1m. Em quantos dias atingirá o topo do poste?

31ª) O homem-branco foi feito prisioneiro de uma feroz tribo indígena. O cacique querendo demonstrar elevado grau de justiça,remeteu a sentença à inteligência do prisioneiro Começou o cacique: "Você está numa cela, onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade; e outra, para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer uma pergunta - apenas uma - a um dos dois guardas que vigiam as portas. Ah, ia esquecendo: um dos dois guardas responde sempre a verdade; o outro, invariavelmente, responde com uma mentira. Mas você desconhece qual o guarda que mente, ou qual diz a verdade. Boa sorte!" O homem-branco pensou bastante. Depois dirigiu-se a um dos guardas e fez uma única pergunta. Só uma. E lampejamente saiu pela porta que dava para a liberdade. Qual a pergunta que o homem-branco fez ao guarda?

32ª) Um pai distribuiu um número x de maçãs a seus 3 filhos de sorte que:

1) ao filho mais velho coube metade das maçãs mais meia maçã;

2) ao filho do meio, metade das maçãs que sobraram mais meia maçã;

3) ao filho mais moço, metade das maçãs que restaram das duas distribuições anteriores, mais meia maçã;

4) ao próprio pai coubeu uma maçã. Calcular o número x de maçãs.

33ª) Prove que metade de onze é seis.

34ª) Um grande industrial na necessidade de ir a São Paulo, chegou a seu guarda-noturno e ordenou:

- Amanhã, acorde-me às 6h, por favor. Tenho que apanhar o avião para S.P..

- Pois não, chefe!

Pontualmente às 6h o guarda apertou a campainha da residência do industrial e tentou demovê-lo da ideia de viajar:

- Patrão - disse o guarda - estou com mau presságio: sonhei esta noite que o Sr. teria um acidente com o avião e me permita sugerir que não viaje.

O industrial titubeou, mas mesmo assim viajou. Sem incidentes, chegou a S.P. e por telefone mandou despedir o guarda. Por quê?

35ª) Dois pastores: A e B. A diz para B: "Dê-me um de seus carneiros que ficamos com igual número". B diz para A: "Não, dê-me um de seus carneiros que ficarei com o dobro dos seus". Quantos carneiros tem A e quantos tem B?

36ª) Quando o Rei da Pérsia perguntou qual a recompensa que desejava, o inventor do jogo de xadrez pediu um grão de trigo para o primeiro quadrado do tabuleiro, dois para o segundo, quatro para o terceiro, oito para o quarto, e assim por diante, dobrando a quantidade para cada quadrado subseqüente. Calcular o número total de grãos correspondentes aos 64 quadrados do

tabuleiro.

37ª) Empregando apenas o algarismo 9, escrever:

a) 10 b)100 c) 1000

38ª) Três gatos comem três ratos em três minutos. Cem gatos comem cem ratos em quantos minutos?

39ª) O pai do padre é filho de meu pai.O que eu sou do padre?

40ª) Numa lagoa, há dois patos na frente de dois patos, dois patos no meio de dois patos e dois patos atrás de dois patos. Quantos patos há na lagoa?

41ª) O valor de é:

42ª) Um avião lotado de passageiros parte do Rio de Janeiro em direção a Buenos Aires. Por uma fatalidade cai na fronteira Brasil- Argentina. Onde serão enterrados os sobreviventes?

43ª) Uma pata nascida no Chile bota um ovo na divisa Brasil-Chile. Segundo o ltamaraty, a quem pertence o ovo?

44ª) Complete: O é um número irracional e para 8 casas decimais tem o valor: =3,14159265 . A frase abaixo, representa um artifício para memorizá-lo:

SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO.

Onde cada palavra encerra um .................... de ...................que coincide em ordem com cada algarismo do .

45ª) O ladrão entrou numa igreja e tinha 3 velas, ele levou uma. Quantas velas ficaram?

46ª) Cinco amigos, que estudaram juntos no colégio, estão reunidos num jantar. São eles: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edilson. Atualmente, eles moram nas cidades de Salvaterra, Soure, Abaetetuba, Barcarena e Castanhal, onde exercem as seguintes profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro. Considere que:

Nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que vive;

Ø Almir não reside em Soure e Edilson, que não é bibliotecário e nem dentista, tampouco aí vive;

Ø Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Abaetetuba e nem em Barcarena;

Ø Danilo vive em Castanhal, não é bibliotecário e nem advogado;

Ø O bibliotecário não mora em Abaetetuba;

Nessas condições, é verdade que:

a) Almir é contabilista e reside em Barcarena.

b) Branco é advogado e reside em Salvaterra.

c) Caio é dentista e reside em Abaetetuba.

d) Danilo é dentista e reside em Castanhal.

e) Edilson é advogado e reside em Abaetetuba.

47ª) Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcionários Ana, Cláudia, Luís, Paula e João, sabe-se que

Ø Ana chegou antes de Paula e Luís;

Ø Paula chegou antes de João;

Ø Cláudia chegou antes de Ana;

Ø João não foi o último a chegar;

Nesse dia o terceiro a chegar no escritório para o trabalho foi:

a) Ana b) Cláudia c) João d) Luís e) Paula

48ª) Qual o símbolo vem no lugar do ponto de interrogação em cada sequência baixo?

Sequência: 00xxxx00xxx00xx??x

a) 0x b) x0 c) xx d) 00 e) 0x0

49ª) Um barqueiro, estando na margem A de um rio, tem que atravessar para a margem B um coelho, uma onça e uma caixa de cenouras. Como seu barco é muito pequeno, ele só pode atravessar um de cada vez. Para que a onça não coma o coelho e o coelho não coma a cenoura, em que seqüência o barqueiro deve proceder a travessia?

50ª) Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Sabe-se que:

Ø essas pessoas formam quatro casais ; e

Carolina não é esposa de Paulo.

Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando. Então, é correto afirmar que a esposa de Antônio é.

a) Carolina b) Júlia c) Raquel d) Rita

51ª) As três filhas de seu Anselmo – Ana, Regina e Helô – vão para o colégio usando, cada uma, seu meio de transporte preferido; bicicleta, ônibus ou moto. Uma delas estuda no colégio Santo Antônio outra no São João e outra no São Pedro. Seu Anselmo está confuso em relação ao meio de transporte usado e ao colégio e lembra-se, entretanto, de alguns detalhes:

Ø Helô é a filha que anda de bicicleta;

Ø A filha que anda de ônibus não estuda no colégio Santo Antônio;

Ø Ana não estuda no colégio São João e Regina estuda no colégio São Pedro.

Pretendendo ajudar seu Anselmo, sua mulher junta essas informações e afirma:

I) Regina vai de ônibus para o colégio São Pedro.

II) Ana vai de moto.

III) Helô estuda no colégio Santo Antônio.

Com relação a estas afirmativas, conclui-se:

a) Apenas a I é verdadeira;

b) Apenas a I e a II;

c) Apenas a II é verdadeira;

d) Apenas a III é verdadeira;

e) Todas são verdadeiras;

52ª) Assinale a opção correta:

5 ? 5 ? 5 ? 5

a) + = - b) + + = c) = + + d) x ÷ = e) - x =

53ª) Se ( ( ) ) = 729 . Calcule ( ( ) ) = ??????

a) 64 b) 128 c) 216 d) 512 e) 729

54ª) Em um exame, foi usado o seguinte critério de correção:

I . Para cada questão respondida corretamente o candidato perdeu 2 pontos;

II. Para cada questão respondida incorretamente o candidato perdeu 2 pontos;

III. Para cada questão em branco o candidato perdeu 1 ponto;

A tabela abaixo apresenta o desempenho, nesse exame, dos candidatos Antônio e Maria.

	Nº de questões respondidas corretamente	nº de questões respondidas incorretamente		Nº de questões em branco	Pontos obtidos
Antônio	2y + 2z	y	Z		84
Maria	3y + z	y - z	y		100

Com base nos dados acima, determine o número de questões do exame.

UM POUCO DA HISTÓRIA DOS LOGARITMOS

JOHN NAPIER

John Napier nasceu em 1550, e morreu dia 4 de abril de 1617. Era um matemático escocês. Foi o inventor dos LOGARITMOS. Ele foi educado na universidade de St. Andrew na Europa. Em 1571, Napier voltou à Escócia e se dedicou à sua corrente propriedade e tomou parte nas controvérsias religiosas do tempo. Ele era um protestante fervente e publicou a influente Descoberta de Plaine de toda revelação de St.John (1593). Seu estudo de matemática era, portanto, só um passatempo.

Em 1614, Napier publicou o seu Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Uma Descrição do Maravilhoso Cânon de Logaritmos) que conteve uma descrição de logaritmos, um conjunto de tabelas, e regras para o uso deles. Napier esperou que, por meio dos seus logaritmos, ele salvaria os astrônomos por muito tempo e os livraria dos erros de cálculos. Suas tabelas de logaritmos de funções trigonométricas foram usadas durante quase um século.

Napier apresentou outro método de simplificar cálculos no seu Rabdologiae (1617). Nesse ele descreveu um método de multiplicação que usa barras com números marcados nelas. As barras de Napier, às vezes foram feitas de marfim, então elas pareciam ossos, e conduziram ao nome de ossos de Napier (Napier's bones). Multiplicação eram feitas colocando os ossos apropriados lado a lado, e lendo os produtos apropriados. Essencialmente este dispositivo era uma tabela de multiplicar com partes móveis. Napier também fez contribuições à trigonometria esférica, achou expressões exponenciais para funções trigonométricas, e foi influente na introdução da notação decimal para frações.

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele.

Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica b, b², b³,b⁴,b⁵,.....,bⁿ,...

Os termos da progressão aritmética 1, 2, 3, 4, 5,,....,n. Então ao produto de dois termos da primeira progressão, b^m . b^p, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,

PA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

PG 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:

· 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;

· 32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;

· como 8 + 5 = 13,

· 13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.

Assim, 256 x 32 = 8192 resultado esse que foi encontrado através de uma simples operação de adição.

Magnitude e a Escala Richter

CHARLES F. RICHTER

Em 1935, para comparar os tamanhos relativos dos sismos, Charles F. Richter,sismólogo americano, formulou uma escala de magnitude baseada na amplitude dosregistros das estações sismográficas.O princípio básico da escala é que as magnitudes sejam expressas na escala logarítmica, de maneira que cada ponto na escala corresponda a um fator de 10 vezes na amplitude das vibrações. Por isso é usado o logaritmo de base 10 ,onde ele classifica cada grau da escala em 1,2,3... em vez de falar 10,100,1000.... o que dificultaria mais o processo para o cálculo. No entanto o modo de classificá-lo através da escala usada é bem fácil de se trabalhar, correspondendo assim que se houver um abalo de magnitude 4,0 ele será dez vezes maior que o de magnitude 3,0, cem vezes maior que a 2,0,mil vezes maior que a 1,0.

È importante relatar que cada ponto na escala de magnitude corresponde a uma diferença da ordem de 30 vezes na energia liberada.Ou seja um abalo de magnitude 4 libera 30 vezes mais energia que o de magnitude 3. A escala Richter é uma escala logarítmica a magnitude de Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das ondas sísmicas de tipo P(pressão máxima) e S(superficial) a 100 Km do epicentro.Existem várias fórmulas diferentes para se calcular a magnitude Richter, dependendo do tipo da onda sísmica medida no sismograma.

Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935: Log E = 11,8 + 1,5M

Onde,E = energia liberada em ergs (1 erg = 10^-7 J). M = magnitude do terremoto.

ü APLICAÇÔES

1ª) As indicações R₁ e R₂, na Escala Richter, de dois terremotos estão relacionados pela fórmula:

R_{1 –}R₂ =

Onde M₁ e M₂ medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um corresponde a R₁ = 8 e outro corresponde a R₂ = 6. A razão M₁ / M₂ é.

a) 2 b) log 10 c) 4/3 d) 10² e) log (4/3)

2ª) Os valores de x e y que satisfazem o sistema

+ = 1

são, respectivamente:

a) 5 e 3/5 b) 3/5 e 5 c) -1 e -3 d) 3 e -3/5 e) 1 e -9/5

3ª) Um grupo de estudantes resolveu repetir a medição da altura do Pico da Neblina feita na década de 60. Para isso, escalaram essa montanha e levaram um barômetro. Chegando ao cume da montanha, efetuaram várias medições da pressão atmosférica no local e obtiveram o valor médio de 530 mmHg. A pressão atmosférica P(h) a uma dada altura h (em metros, em relação ao nível do mar) é fornecida pela função.

P₀.

Sendo e a base do sistema de logaritmos neperianos, P₀ = 760 mmHg a pressão atmosférica no nível do mar, e ∂ um número que depende principalmente da temperatura média no local de medição. Sabendo-se que, nas condições desse experimento, = - 0,00012 e que os estudantes usaram os valores aproximados ln(760) = 6,63 e ln(530) = 6,27, qual foi a altura que encontraram para o Pico da Neblina?

a) 1.000 b) 2.000 c) 3.000 d) 4.000 e) 5.000

4ª) Sabendo que log a = 6.log b ; 2.log b = log c e que log c = 45, o valor umérico de y na expressão:

a) 9 b) 27 c) 81 d) 45 e) 117

5ª) A expectativa de vida em anos, em uma região, em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no ano x ( x≥ 1900), é dada por L(x) = 12 (199log x – 651). Ccnsiderando log2=0,3, uma pessoa dessa região que nasceu no ano 2000 tem expectativa de viver:

a) 48,7 anos b) 54,6 anos c) 64,5 anos d) 68,4 anos e) 72,3 anos

6ª) Um paciente de um hospital esta recebendo soro por via intravenosa. O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que este número x é solução da equação log₄^x = log₂³, e que cada gota tem volume de 0,3ml, pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente recebe em uma hora é de:

a) 800mL b) 750mL c) 724mL d) 500mL e) 324 mL

7ª) Se , então é:

a) 243 b) 256 c) 512 d) 729 e) 370

8ª) São dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. O valor de é:

a) -0,22 b) -0,12 c) – 0,08 d) 0,88 e) 1,02

9ª) Seja m um número real que satisfaz a equação log₂(x² - 1) =3. Nestas condições, o valor de m + 1 é:

a) 10 ou -8 b) 4 ou -2 c) 9 d) 5 e) 3

10ª) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determinada cidade, com idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula h=log ( 10^0,7 . ) , onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). Pela fórmula, uma criança de 10 anos desta cidade terá de altura:

a) 120 cm b) 123 cm c) 125 cm d) 128 cm e) 130 cm

11ª) A expectativa de lucro de uma determinada empresa é expressa pela lei L(t) = 2000.(1,25)^t o lucro após t meses. Considerando log4 = 0,602 e log1,25 = 0,097. Pode-se afirmar, assim, que o lucro atingirá R$ 8.000,00 no decorrer do...

a) 10º mês b) 7º mês c) 5º mês d) 4º mês e) 3º mês

12ª) A expressão N(t) = 1500.2^0,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t = 0). Após quantas horas da primeira observação haverá 250.000 bactérias nessa cultura? (Dados: log 2 = 0,30 ; log 3 = 0,48)

a) 37 b) 35 c) 30 d) 27 e) 25

13ª) (UFMG) Na figura seguinte está representado o gráfico de f(x) = log _ax . O valor de f(128) é:

2 .............................

0 16 x

a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 7 e) 5/3

14ª) A função exponencial P(n) = P(0) . e^0,2N simula o crescimento de uma população P de bactérias patogênicas para cada geração n. Assim, entre quais gerações a população dessas bactérias será o dobro da população inicial P(0)? Considere ln² = 0,7.

a) 1ª e 2ª gerações b)2ª e 3ª gerações c)3ª e 4ª gerações d)4ª e 5ª gerações

15ª) Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas constantes c e k, de maneira que y = cx^k. Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e k por meio de dados experimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os dados da tabela:

x y

2 16

20 40

Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando = 0,301, determine o valor de k.

a) 0,398 b) 0,908 c) – 0,987 d) 0,657 e) – 0,908

16ª) Se o par (x,y) é solução do sistema de equações.Então a razão entre x e y é.

- 16.

- 10. = 19

b) c) d) e)

17ª) Os números reais x e y são soluções do sistema.

= 1

- = 2

Então vale.

a) -7 b) -1 c) 0 d) 1 e) 7

18ª) Prove que a solução (a,b) , b › 1 , para o sistema de equações abaixo é

(2, ).

= 8

= 4

19ª) A Escala de Patermo foi desenvolvida para ajudar especialistas a classificar e estudar riscos de impactos de asteroides, cometas e grandes meteoritos com a Terra. O valor P da Escala de Palermo em função do risco relativo R é definido por

P = log₁₀ (R)

Por sua vez R é definido por

R = ∂

fx∆T

sendo ∂ a probabilidade de o impacto ocorrer, ∆T o tempo (medido em anos) que resta para que o impacto ocorra e

f = 0,03 x E ^-4/5

a freqüência anual de impactos com energia E (medida em megatoneladas de TNT) maior do que ou igual a energia do impacto em questão. De acordo com as definições acima , PROVE que o valor de

P = log₁₀^(∂)+2 - log₁₀⁽³⁾+ 4/5log₁₀^(E)-log₁₀^(∆T)

20ª) Se k é a solução da equação 4^x + 6^x = 2. 9^x e a e b números reais positivos tais que (a , b) é solução do sistema.

a + b = 10

+ =

Então + a² + b² é:

a) 56 b) 53 c) 54 d) 55 e) 52

21ª) Em 2007, um negociante de arte novaiorquino vendeu um quadro a um perito, por 19.000 dólares.O perito pensou tratar-se da obra hoje conhecida como La Bella Principessa, de Leonardo Da Vinci, o que, se comprovado,elevaria o valor da obra a cerca de 150 milhões de dólares.

Uma das formas de se verificar a autenticidade da obra adquirida seria atestar sua idade usando a datação por Carbono 14. Esse processo consiste em se estimar o tempo a partir da concentração relativa de Carbono 14 (em relação à quantidade de Carbono 12) em uma amostra de algum componente orgânico presente na obra.Considere as seguintes afirmações sobre essa verificação de autenticidade da obra:

I. A concentração de carbono é dada por uma função do tipo C(t) = C₀.e^-kt ,com C₀ e k constantes positivas;

II. A meia-vida do carbono 14 é 5.700 anos, ou seja, a concentração se reduz à metade 5.700 anos:

C(5.700) = C₀/2

III. Na análise da obra de arte, verificou concentração de carbono era 95,25%, isto é,que 0 C(t ) = 0,9525.C₀ . Tendo por base as informações acima e que log₂ (0,9525)=- 0,0702 , é correto afirmar que a idade da obra ( t ) é, aproximadamente,

(A) 200 anos. (B) 300 anos. (C) 400 anos. (D) 500 anos. (E) 600 anos.

22ª) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois de ele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N(t) = 2.(0,5)^t, em que t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível foi constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo se o limite permitido de álcool no sangue para dirigir com segurança é de 0,8 gramas por litro? (Use 0,3 para log2).

23ª) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = - log [H⁺], em que [H⁺] indica a concentração, em mol/l, de íons de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10. Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio era [H⁺] = 5,4.10^-8 mol/l. Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log2 e de 0,48 para o log3. Então qual é o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução?

24ª) Resolva a equação - = 1

25ª) Adotando o valor 0,30 para 2log, a raiz da equação 2^{3x – 6} = 5^{1 – x} , arredondada para duas casas decimais é: a) 1,32 b) 1,44 c) 1,56 d) 1,65 e) 1,78

26ª) Ao nível do mar, a pressão atmosférica é de 670 mm hg. Essa pressão varia com a altura, de acordo com a fórmula h = 18400. (h em metros e P em milímetros de mercúrio). Sabendo que , aproximadamente, a que altura acima do nível do mar a pressão é de 250 mm hg?

a) 9200m b) 8700m c) 1200 m d) 9500m e) 8900m

27ª) Dispondo de um capital C, uma pessoa deseja aplicá-lo de maneira a duplicar seu valor. Sabendo que o montante M de um investimento é calculado por meio da fórmula M = C.e^rt, na qual e é a base do logaritmo neperiano, calcule o tempo t que esse capital deverá ficar aplicado em uma instituição financeira que propõe juros compostos capitalizados continuamente à taxa r de 20% ao ano? (Considere: ln2 = 0,7).

a) 2 anos b) 2 anos e meio c) 3 anos d) 3 anos e meio e) 4 anos

28ª) Se um determinado capital “C” em reais, for aplicado a juros com uma taxa anual “r” e os juros forem compostos continuamente, o salto “S(t)”, em reais, após “t” anos será calculado através da utilização da fórmula S(t) = C.e^rt, onde “e” é a base do sistema neperiano de logaritmos. Sendo assim, qual o saldo resultante, após 6 (seis) meses de aplicação, de um capital de R$ 10.000,00 (dez mil reais), que foi investido a uma taxa de juros de 20% ao ano, com os juros compostos continuamente? (DADO: e^0,1= 1,1052).

a)R$11.050,50 b)R$11.052,00 c)R$12.520,00 d) R$12.052,50 e) R$12.520,50

29ª) As alturas médias do tronco de certa espécie de árvore que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada segundo o seguinte modelo matemático H(t) = 1,5 + , com H(t) em metros e “t” em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 metros de altura, qual o tempo em anos transcorrido do momento da plantação até o do corte?

a) 10 b) 12 c) 8 d) 9 e) 11

30ª) Por ocasião de um acidente de trânsito, foi constatado que o nível de álcool no sangue de um dos motoristas era de 4 gramas por litro, ou seja, cinco vezes o limite permitido para dirigir com segurança. Suponha que a diminuição do nível de álcool no sangue pode ser descrita pela lei N(t) = 4.(0,5)^t, onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível foi constatado.

a) Calcule qual o limite permitido, em gramas de álcool por litro de sangue, para se dirigir com segurança.

b) Determine quanto tempo ainda faltava, a partir do momento do acidente, para que esse motorista pudesse dirigir com segurança. (use log2 = 0,3)

31ª) O número x > 1 tal que = , é:

b) c) d) 2 e)

32ª) A magnitude M de um terremoto é medida pela escala Richter, criado pelo sismólogo americano charles Francis Richter, em 1935. Nessa escala, a magnitude do terremoto pode ser determinada por meio da expressão, em que E é a energia liberada no terremoto em kwh e E₀ = 7,0x10^-3 kwh. Se a energia produzida por um terremoto de magnitude 6 pudesse ser armazenada, o número de anos que essa energia poderia abastecer uma residência que tenha consumo anual de 3500 kwh é.

33ª) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M_w), introduzida em 1979 por Thomas Hasks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M_w e M₀ se relacionam pela fórmula:

Onde M₀ é o momento sísmico (usualmente estimado a apartir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina . cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto do Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_w = 7,3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M₀ do terremoto de Kobe (em dina . cm )?

Procedimentos Metodológicos (Professor: Luiz Augusto)

A prática pedagógica a ser desenvolvida pela presente proposta consiste em uma ação mediadora entre os educando e as matérias de estudo, sendo o aluno, o sujeito da ação privilegiando-se uma relação de interação entre o objeto e o sujeito, em uma ação dialética constante. Neste sentido, a principal função do professor será mediar o encontro direto do aluno com o material formativo da disciplina e mantendo a flexibilidade necessária em relação ao planejamento adotado, para facilitar a tomada de decisão frente às dificuldades a serem encontradas no decorrer do processo pedagógico, dessa forma, utilizamos no decorer das aulas: aulas expositivas e dialogadas, utilização de textos, exercícios, fornecimento de esquemas de apoio, estudo dirigido. Dentro da própria disciplina Instrumentação para o Ensino da Matemática, introduzir a história da matemática como parte de estudos da aritmética, da álgebra e da geometria. Bom estudo!

REFERÊNCIAS

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática, São Paulo, Blucher, 1974.

FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação matemática: Representação e construção da Geometria. Porto alegre: Artes Médicas sul, 1999.

FIBONACCI.DISPONÍVEL EM: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/.ACESSADO EM:19/04/2006

GEOMETRIA ESPACIAL.DISPONIVEL EM: http://www.geocities.com/geoespacial/. ACESSO EM: 19/04/2006

KALEFF, Ana Maria. Tomando o ensino da Geometria em nossas mãos. A Educação

Matemática em revista- O ensino da matemática no 1º grau - SBEM - Ano I -N.º 2 -

1994. P 19-25.

LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em Revista

Geometria. SBEM -Ano III-1º Sem.1995. p 03-13.

MATEMÁTICA E A NATUREZA.DISPONÍVEL EM: http://www.apm.pt/natureza/.ACESSO EM: 18/042006

Bibliografia: Ball, W. W. R., A Short Account of the History of Mathematics (1908; repr. 1960); Bell, E.T., Men of Mathematics (1937; repr. 1986).

Bibliografia: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural
Sistemas de Numeração ao Longo da História (EDITORA MODERNA) 2ª EDIÇÃO

Lorenzato, Sergio : Para aprender matemática / Sérgio Lorenzato. 2 ed. Ver. – campinas, SP: Autores Associados, 2006 (Coleção Formação de professores).

ENSAIOS SOBRE A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA John A. Fossa. Editora EDUEPA.

Fundação CECIERJ . Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de janeiro.(Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra.

“ Hoje encerramos uma etapa. Ao certo não é a conclusiva da jornada que ainda temos à frente, mas é a mostra de que com entusiasmo e empenho, pouco a pouco, todas as outras etapas serão vencidas. Hoje o que importa é que chegamos até aqui....”

Luiz Augusto.

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ (UEPA) PÓLO ...............................................

PROFESSOR: LUIZ AUGUSTO

DISCIPLINA : ..........................................................................................................

ALUNO (A) : .............................................................TURMA: ............

ATIVIDADE AVALIATIVA

1ª) QUESTÃO Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

ü Considere que, em uma sala de aula, um professor colocou o seguinte problema para seus alunos: Determine o valor de x na equação:

Ø (I)

Ø (II)

O aluno André apresentou a seguinte solução (I) :

logo o valor de x = -1/2

Por sua vez, o aluno Bernardo apresentou a seguinte solução (II) :

logo o valor de x = 23/3

a) Com base na situação hipotética apresentada, identifique o conceito matemático que cada aluno aplicou para a solução do problema proposto e, em seguida, descreva brevemente a forma como você explicaria para seus alunos a diferença entre tais conceitos.

b) Os termos da progressão aritmética 1, 2, 3, 4, 5,,....,n. Então ao produto de dois termos da primeira progressão, b^m . b^p, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,

PA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

PG 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

ü Qual seria os números que compõem o produto da operação tendo como resultado 16384 e descreva a resolução como prova real criada por Napier.

2ª) QUESTÃO A educação matemática vem buscando e propondo diferentes estratégias para o ensino-aprendizagem da matemática, com o objetivo de se democratizar o acesso ao saber. Entre elas, está a utilização da história da matemática como recurso pedagógico, não devendo esta, no entanto, restringir-se à memorização de nomes e datas nem às biografias de matemáticos. Pesquisadores apresentam diversas razões que justificam o uso da história da matemática no ensino. Justifique brevemente o uso da história da matemática como recurso pedagógico.

3ª) QUESTÃO A Geometria como ciência dedutiva apenas tem início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predecessores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudoxio (408 - 355 a.C.).

Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides.

Considere que uma professora tenha apresentado em sua sala de aula a seguinte

Questão: Seja o OCTÁGONO EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12 cm de lado, conforme mostra a figura abaixo.

A E L D

^G ^J

^B^H^I^C

Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmento congruentes entre si, então a área do OCTÁGONO, em centímetros quadrados, é:

ü Com bases nessas informações, resolva a questão acima e, em seguida, redija as prováveis resoluções, analisando brevemente indicando os prováveis problemas conceituais ou procedimentais que você observou nessas respostas.

4ª) QUESTÃO John Napier nasceu em 1550, e morreu dia 4 de abril de 1617. Era um matemático escocês. Foi o inventor dos LOGARITMOS. Ele foi educado na universidade de St. Andrew na Europa. Em 1571, Napier voltou à Escócia e se dedicou à sua corrente propriedade e tomou parte nas controvérsias religiosas do tempo. Ele era um protestante fervente e publicou a influente Descoberta de Plaine de toda revelação de St.John (1593). Seu estudo de matemática era, portanto, só um passatempo.

ü Newton perguntou ao professor Euclides qual o valor numérico da expressão x + y + z. Este lhe respondeu com certa ironia “ como queres saber o valor numérico de uma expressão, sem atribuir valores às variáveis? “. Agora, eu é que quero saber qual o valor numérico daquela expressão quando

x =

y =

z =

ü Qual a resposta correta à pergunta de Newton, considerando-se os valores atribuídos às variáveis pelo professor? Justifique sua resposta.

5ª) QUESTÃO Tudo ao contrário!

Em seu livro, escrito no século XII, Bhaskara resolve muitos problemas pela regra da inversão, conhecida dos matemáticos hindus desde a Antiguidade:

Digam-me: Qual é o número que multiplicado por 5, aumenta depois 9, se divide por 6, se multiplica por si mesmo, se acrescenta a 19 e, depois de extraída a raiz quadrada, diminui 2, se divide por 4 e dá 2?

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PROFESSOR: LUIZ AUGUSTO

ü DISCIPLINA : ..........................................................................................................

ü ALUNO (A) : .............................................................TURMA: ..........

ATIVIDADE AVALIATIVA

1ª) QUESTÃO O enigma de Diofante

Até aquela época, os matemáticos gregos preferiam estudar Geometria. Apenas Diofante se dedicou à Álgebra. A história não guardou muitos dados sobre a vida de Diofante. Tudo o que sabemos dele estava numa dedicatória gravada em seu túmulo – com toda a certeza, escrita por Hipatia:

Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E os números podem mostrar – oh, milagre – quão longa foi a sua vida,.............................

Cuja sexta parte constituiu sua formosa infância.................

E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quando de pêlos se cobriu

O seu rosto..................

E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos...................

Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de seu primeiro filho,..............

Que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente a metade da de seu pai.............

E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu

filho...............

Hoje nós sabemos decifrar esta dedicatória através de uma equação:

x = ...........+..........+..........+...........+...........+..........

a) Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a morte?.....................

b) E qual a idade do seu filho?........................

c) Diofante foi pai com ..............anos e casou-se aos ...........anos.

2ª) QUESTÃO O idioma da Álgebra

Alguns destes problemas podem parecer fáceis hoje. Mas é preciso lembrar que os grandes matemáticos do passado conseguiram resolvê-los quando ainda não existiam as equações!

Um problema-desafio da Índia antiga

Digam-me: Qual é o número que multiplicado por 6, dividindo-se o produto por 3, aumentado-se o quociente em 2 unidades, multiplicando-se o resultado por si mesmo, extraindo-se a raiz quadrada e depois de acrescentar 10 unidades e dividir o resultado por 6, dá a metade do próprio número?

3ª) QUESTÃO

ü Os babilônios utilizavam a fórmula A = para determiner aproximadamente a área de um quadrilátero com lados consecutivos de medidas a, b, c, d. Para o quadrilátero da figura a seguir, a diferença entre o valor aproximado da área obtido utilizando-se a fórmula dos babilônicos e o valor exato da área é.

Boa Atividade!

4ª) QUESTÃO

VAMOS JOGAR COM A MATEMÁTICA

Este é um dos problemas do Lilavati. Que tal tentar resolvê-lo? Os egípcios tinham um modo, os indianos outro. E você? Será que não descobre um jeito seu?

ü Digam-me, doutores matemáticos, qual é o número que, multiplicado por 5, dividindo o produto por 4, acrescentando 5 unidades ao quociente, multiplicando o resultado por si mesmo e, depois de extrair a raiz quadrada, acrescentar 9 unidades e dividir por 3, dá o próprio número?

5ª) QUESTÃO Considere: log23=1,36;log2=0,30 e log3=0,48

TERREMOTOS (Atualidade) Com o lento movimento das placas litosféricas, da ordem de alguns centímetros por ano, tensões vão se acumulando em vários pontos, principalmente perto de suas bordas. As tensões acumuladas podem ser compressivas ou distensivas, dependendo da direção de movimentação relativa entre as placas.Quando essas tensões atingem o limite de resistência das rochas, ocorre uma ruptura, como podemos ver na figura , o movimento repentino entre os blocos de cada lado da ruptura geram vibrações que se propagam em todas as direções. O plano de ruptura forma o que se chama de falha geológica. Os terremotos podem ocorrer no contato entre duas placas litosféricas (caso mais freqüente) ou no interior de uma delas,como indicado no exemplo da figura , sem que a ruptura atinja a superfície. O ponto onde se inicia a ruptura e a liberação das tensões acumuladas é chamado de hipocentro ou foco. Sua projeção na superfície é o epicentro, e a distância do foco à superfície é a profundidade focal.

À distância do foco do sismo, em termos de tempo entre as chegadas das ondas P e S, é de 24 segundos. A máxima amplitude da onda é de 23mm. A fórmula usada por Richter foi:

M = log₁₀A(mm) + 3x log₁₀[8 x t(s)] – 2,92

Onde, M é a magnitude do terremoto, A(mm) é a amplitude(em milímetros) do terremoto medida em um sismógrafo e Dt é o intervalo(em segundos) entre as ondas S(superficial) e P(pressão máxima), também medidas no sismógrafo. Usando as propriedades dos logaritmos, encontre o valor da magnitude do terremoto.

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ATIVIDADE AVALIATIVA SOBRE O VÍDEO( Critérios de correção: A parte subjetiva contará com abortagem do tema, organização do texto.(organizar seu texto de maneira que haja produção de ideias), coerência textual(Dissertação) e coesão textual (Gramática).

AAZ DO CORAÇÃOA VOZ DO CORAÇÃO

A VOZ DO CORAÇÃO, primeiro filme do diretor francês Christophe Barratier que conta a história de Clément Mathieu (Gérard Jugnot), um músico e professor desempregado que vai trabalhar como inspetor num internato para meninos. O rígido sistema educativo imposto pelo diretor Rachin (François Berléand), baseado na lei da 'ação-reação' potencializa a violência daqueles meninos que, por algum motivo que não é muito bom, estão alijados do convívio com suas famílias. A resposta de Mathieu ao hostil ambiente de violência mútua e repressão é a música. Ao descobrir nos pequenos aquele que deve ser um desejo inato de cantar, o professor que decidira abandonar a música, encontra forças para se reencontrar com seu objeto de paixão e, ao mesmo tempo tornar prazeroso seu trabalho junto àqueles garotos. De quebra, Mathieu encontra um grande talento natural, Pierre Morhange (Jean-Baptiste Maunier), dotado com uma voz única, que esperava apenas oportunidade para ser desperto.A história começa mais de 50 anos depois, quando o agora consagrado maestro Morhange (Jacques Perrin, produtor da película) volta à sua cidade natal para o enterro de sua mãe. Depois do funeral, o homem recebe a visita do velho Pepinot (Didier Flamand), o qual tinha estudado com ele no Fond de l'Etang ('fundo do poço', em português) em 1949. Este era um lindo menininho que fora abandonado pelos parentes no internato depois que seus pais morreram por causa da Segunda Guerra Mundial. Pepinot entrega ao colega de infância um diário que teria sido deixado pelo professor Mathieu antes de falecer. Os escritos se referem ao tempo em que ambos estudaram em Fond de l'Etang e conta, sobretudo, a história do projeto do professor de fazer um coral com os alunos rebeldes. A partir daí, a narrativa volta ao passado, representando de forma realista o reencontro de Morhange com sua infância.

1ª) Em uma das cenas do vídeo A VOZ do Coracão, o professor Langlois de aritmética, colocou a seguinte questão: Uma galinha bota em média 84 ovos por ano. Se bem alimentada e alojada num galinheiro limpo ela pode botar 150 ovos. Quantos ovos a mais pode ser obtidos por uma fazendeira que está criando 9 galinhas?

2ª) O filme representa de forma realista, o ambiente e os conflitos de uma escola para internos da década de 1940 em uma pequena cidade francesa, que adotava em sua pedagogia o sistema da ação-reação. Explique em que consistia este sistema e que sentimento e atitudes eram gerados nos alunos.

3ª) A partir da chegada do inspetor (professor) mathieu e de seu trabalho junto aos internos da escola começam a ocorrer algumas mudanças tanto em Mathieu como nos seus alunos. Descreva estas mudanças.

4ª) Ao receber a notícia do falecimento da mãe, o reconhecido maestro Pierre Morhange volta para casa. Lá, ele recorda sua infância por meio da leitura das páginas de um diário mantido por seu antigo professor de música, Clément Mathieu. Na década de 40, o pequeno Pierre é um menino rebelde, filho da mãe solteira Violette. Ele freqüenta um internato dirigido pelo inflexível Rachin, que enfrenta dificuldades para manter a disciplina dos alunos difíceis. Mas a chegada do professor Mathieu traz nova vida ao lugar: ele organiza um coro que promove a descoberta do talento musical de Pierre. Comparando a década de 40(Pedagógia da época) para a década atual (Pedagógia de hoje) o que foi que mudou? Se mudou cite alguns casos. Ainda existi até hoje esse Mathieu?

5ª) Após assistir o vídeo “ A voz do coração “ um aluno perguntou para o professor de matemática, qual seria a idade do personagem Pepinot, o professor que estava ensinando logaritmo respondeu: a idade do menino é o valor da soma das raízes da equação.

log₁₀^{x² - 5x
+ 6} = 0

6ª) Em uma das cenas do Vídeo “ A voz do coração “, Pepinot diz a Le Querrec, você é meu amigo, então quanto é 5 mais 3 e Le Querrec respondeu 53. Resolva todas as equações logarítmicas abaixo e logo após justifique com os seus cálculos necessários, qual das alternativas é o resultado correto da operação 5 + 3.

a) log2^x+3 = log32

b) log_{1 /2 7} ^x-5 = (1/3)

c) 2log^x-6= log16

d) log3^x
-5= log27

7ª) Marque a alternativa correta conforme o seu resultado: Pepinot tinha uma esperança de encontrar os seus pais e quase todos os dias ficava na porta do portão do internato (Fond de I‘Etang), levado pelo professor Clement Mathier, o seu sonho foi realizado. Justificando com seus cálculos, qual é o dia da semana que tem como resultado o valor de (S) da função logarítmica abaixo:

log₁₀^(S) = log₁₀⁶ + log₁₀⁹ – 2log₁₀³

a) domingo b) terça-feira c) sábado d) segunda-feira

8ª) O Vídeo A Voz do Coração é baseando na década de 1940 em uma pequena cidade francesa, que adotava em sua pedagogia o sistema da ação-reação. No Brasil por volta dos anos 80, durante a implantação do projeto Proálcool, uma montadora estimou que sua produção de carros a álcool teria um acrescimento anual de acordo com a expressão: P(t) = 10⁵. log₃(t+1), onde P é a quantidade produzida e t o número de anos. Dessa forma, daqui a 8 anos a produção estimada será de: Obs: Resolva e marque a alternativa correta.

a) 200.000 carros b) 220.000 carros c) 232.000 carros d) 300.000 carros

9ª)

”A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: ou as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em direções opostas. ”

As forças que os esquiadores fazem no outro são iguais em magnitude, mas agem em sentidos opostos e em corpos diferentes. No vídeo A Voz do Coração era um gesto no braço do inspector (toda ação tem uma reação) como castigo para os internos. Faça uma pesquisa e descreva a biográfia do famoso cientista que criou está lei:

10ª) No vídeo A Voz do Coração: A matemática e a música são em comum a respeito dos números naturais. Por exemplo vamos ao primeiro acorde maior: Dó-maior. Entre Dó e Mi há 4 semitons; Entre Sol e Dó há 7 semitons: Baseado nos números(semitons) determine a integral definida:

11ª) Os alunos do internato Fond de l'Etang como foram impedidos de agradecer o seu professor Clement Mathier por tudo aquilo que o mesmo fez sobretudo o resgate da sua autoestima, tal consideração que com gesto de agradecimento atiraram pequenos avianzinhos.

Citação: A escrita faz de tal modo parte da nossa civilização que poderia servir de definição dela própria. A história da humanidade se divide em duas imensas eras: antes e a partir da escrita. (...) Vivemos os séculos da civilização da escrita. Todas as nossas sociedades baseiam-se sobre o escrito. A lei escrita substitui a lei oral, o contrato escrito substituiu a convenção verbal, a religião escrita se seguiu à tradição lendária. E, sobretudo não existe história que não se funde sobre textos (HIGOUNET, 2003).

Baseados no gesto dos alunos atirando os avianzinhos (em agradecimento ao seu mestre como “ obrigado professor até breve”) e na citação acima ”. Redija um texto analisando o símbolo (o professor identificou o seu aluno pela pastitura da nota musical) e a escrita (como avanço da sociedade).

12ª) No vídeo A voz do coração suponha que cada tipo de nota musical tem determinado tempo de duração, como mostra a tabela a seguir: Conforme o som(simbologia) da nota musical, determine:

b) Determine A + B, dados os seguintes polinômios “musicais”:

A = x² + x - e B = x³ - x² + x +

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ (UEPA) PÓLO ...............................................

PROFESSOR: LUIZ AUGUSTO

DISCIPLINA : ..........................................................................................................

ALUNO (A) : .............................................................TURMA: ............

AAZ DO CORAÇÃOA VOZ DO CORAÇÃO

5ª) Após assistir o vídeo “ A voz do coração “ um aluno perguntou para o professor de matemática, qual seria a idade do personagem Pepinot, o professor que estava ministrando o conteúdo de integral definida respondeu a idade do menino é o valor da

6ª) Em uma das cenas do Vídeo “ A voz do coração “, Pepinot diz a Le Querrec, você é meu amigo, então quanto é 5 mais 3 e Le Querrec respondeu 53. Resolva todas as integrais definidas abaixo e logo após justifique com os seus cálculos necessários, qual das alternativas é o resultado correto da operação 5 + 3.

a) b)

c) d )

b) domingo b) terça-feira c) sábado d) segunda-feira

8ª) O Vídeo A Voz do Coração é baseando na década de 1940 em uma pequena cidade francesa, que adotava em sua pedagogia o sistema da ação-reação. No Brasil por volta dos anos 80, durante a implantação do projeto Proálcool, uma montadora estimou que sua produção de carros a álcool teria um acrescimento anual de acordo com a expressão: , onde P é a quantidade produzida e t o número de anos. Dessa forma, daqui a 8 anos a produção estimada será de: Obs: Resolva e marque a alternativa correta.

a) 40. 10⁵ carros b) 20.10⁵ carros c) 52.10⁵ carros d) 48.10⁵ carros

9ª)

”A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: ou as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em direções opostas. ”

12ª) No vídeo A voz do coração suponha que cada tipo de nota musical tem determinado tempo de duração, como mostra a tabela a seguir: Conforme o som(simbologia) da nota musical, determine:

a) b)

c) Mostre que é a soma das integrais indefinitas de A + B.

quinta-feira, 16 de maio de 2013

História da Matemática

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