O papel
das frações e números Decimais
Indo ao
supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota
de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de
frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de
fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais
juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações
e números decimais.
Observação: Para dividir um número X por
outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser mais
simples.
Hoje em
dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram
conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e
representar medidas.
Os
egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por um número
inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas
frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações
foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de
frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.
Os
babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do
número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com
maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam
constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o
número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de
divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para
representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.
Os
números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2
equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.
Stevin
(engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar
todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia
os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando
a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi
introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.
1437
|
|
|
1
|
2
|
3
|
|
=
|
1,
|
4
|
3
|
7
|
1000
|
|
|
|
|
|
A
representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais,
recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no
denominador.
437
100
|
= 4,37
|
Este
método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma
vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Por muito
tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em
virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os
cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema
métrico decimal.
Frações e
Números Decimais
Dentre
todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de
10. Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos
de frações decimais, são:
1/10,
3/100, 23/100, 1/1000, 1/103
Toda
fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número
que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração
127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:
127
100
|
=
|
1,27
|
onde 1
representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação
subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127
100
|
=
|
100+27
100
|
=
|
100
100
|
+
|
27
100
|
= 1+0,27 = 1,27
|
A fração
8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte
decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o
numerador é menor do que o denominador da fração.
Leitura
de números decimais
Para ler
números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula
que separa a parte inteira da parte decimal.
Um número
decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas
|
Dezenas
|
Unidades
|
,
|
Décimos
|
Centésimos
|
Milésimos
|
Por
exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena
|
3 dezenas
|
0 unidades
|
,
|
8 décimos
|
2 centésimos
|
4 milésimos
|
Exemplos:
0,6
|
Seis
décimos
|
0,37
|
Trinta
e sete centésimos
|
0,189
|
Cento e
oitenta e nove milésimos
|
3,7
|
Três
inteiros e sete décimos
|
13,45
|
Treze
inteiros e quarenta e cinco centésimos
|
130,824
|
Cento e
trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos
|
Transformando
frações decimais em números decimais
Podemos
escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um
décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte
fracionária:
parte inteira
|
|
parte fracionária
|
0
|
,
|
1
|
Uma outra
situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31,
que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um
centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da
parte fracionária:
parte inteira
|
|
parte fracionária
|
2
|
,
|
31
|
Em geral,
transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o
numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de
zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo
denominador. Por exemplo:
(a) 130/100
= 1,30
(b) 987/1000 = 0,987
(c) 5/1000
= 0,005
Também é
possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto,
toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a
unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número
dado. Como exemplo, temos:
(a) 0,5 =
5/10
(b) 0,05 =
5/100
(c) 2,41 =
241/100
(d) 7,345 = 7345/1000
Zeros
após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se
acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo
de sua parte decimal. Por exemplo:
(a) 0,5
= 0,50 = 0,500 = 0,5000
(b) 1,0002
= 1,00020 = 1,000200
(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000
Multiplicação
por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta
deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por
exemplo:
(a) 7,4 x 10
= 74
(b) 7,4 x 100
= 740
(c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão
por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a
vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:
(a) 247,5 ÷ 10
= 24,75
(b) 247,5 ÷ 100
= 2,475
(c) 247,5 ÷ 1000 =
0,2475
Adição e
Subtração: Para
efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns
passos:
(a)
Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou
subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:
(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723
(b)
Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas,
centenas, etc), de forma que:
- o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número,
- o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número,
- o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc),
- a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e
- a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.
Dois
exemplos:
2,400 2,400
+ 1,723 -
1,723
-------
-------
(c)
Realizar a adição ou a subtração.
Multiplicação
de números decimais: Podemos
multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em
frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e
denominador por denominador. Por exemplo:
2,25×3,5 =
|
225
100
|
×
|
35
10
|
=
|
225×35
100×10
|
=
|
7875
1000
|
= 7,875
|
Podemos
também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto
tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do
multiplicador. Por exemplo:
|
2,25
|
2 casas decimais
|
multiplicando
|
x
|
3,5
|
1 casa decimal
|
multiplicador
|
|
1125
|
|
|
+
|
675
|
|
|
|
7875
|
|
|
|
7,875
|
3 casas decimais
|
Produto
|
Divisão
de números decimais: Como
visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma
divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas
informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem
divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?
Aqui,
dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por
10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor
serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.
3,6÷0,4 =
|
3,6
0,4
|
=
|
36×10
4×10
|
=
|
36
4
|
= 9
|
Um outro
exemplo:
0,35÷7=
|
0,35
7
|
=
|
0,35×100
7×100
|
=
|
35
700
|
=
|
35÷7
700÷7
|
=
|
5
100
|
= 0,05
|
Neste
caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo
multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o
dividendo como o divisor serão inteiros.
Exercício: Uma pessoa de bom coração doou
35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire
paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?
Divisão
com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por
700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ...,
para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique
maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a
necessidade de multiplicar por 100.
Assim a
divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como
acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros,
colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo
fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por
100.
dividendo
|
3500
|
700
|
divisor
|
resto
|
0
|
0,05
|
quociente
|
Realiza-se
a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.
Divisão
de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no
quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim
para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de
dois números inteiros.
10
|
16
|
|
?
|
(1)
Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto
justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.
100
|
16
|
|
0,
|
(2)
Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.
100
|
16
|
-96
|
0,6
|
4
|
|
(3) O
resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um
zero (0) à direita do número 4.
100
|
16
|
-96
|
0,6
|
40
|
|
(4)
Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.
100
|
16
|
-96
|
0,62
|
40
|
|
-32
|
|
8
|
|
(5) O
resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um
0 à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto
igual a 0.
100
|
16
|
-96
|
0,625
|
40
|
|
-32
|
|
80
|
|
-80
|
|
0
|
|
A divisão
10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja
um inteiro.
Comparação
de números decimais
A
comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras
e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê:
maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual).
Números
com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira
maior. Por exemplo:
(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
(b) 3,7 < 5,4,
pois 3 é menor do que 5.
Números
com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos
forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte
inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes
decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:
(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.
(c) 4,3 = 4,3
pois 4=4 e 3=3.
Porcentagem
Ao abrir
um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com
expressões do tipo:
- A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
- Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
- O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)
A
porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma
das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na
qual b=100 chama-se porcentagem.
Exemplos:
(1) Se há
30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com
o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador
100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos
seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que
30
100
|
= 30%
|
(2)
Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em
R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na
proporção:
40
100
|
=
|
X
300
|
Como o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a
multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120
Logo, 40%
de R$300,00 é igual a R$120,00.
(3) Li
45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
45
100
|
=
|
X
200
|
o que
implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam
200-90=110 páginas.
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