Sobre a divisibilidade
Em algumas situações precisamos apenas
saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a
necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras
conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de
divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e
49.
Divisibilidade no browser Netscape
Use o nosso Verificador de divisão exata para saber se um
número inteiro M é divisível por um outro inteiro N. Entre com dois números
inteiros, um em cada caixa do formulário e clique no botão apropriado. Já
existem dois números para teste do programa.
No. maior=
|
No. menor=
|
A outra forma usa o browser e você deve
digitar a linha de comando abaixo, exatamente como está, dentro da caixa com o nome do arquivo que está sendo acessado
no momento (location=endereço):
javascript: M % N
Para saber se 960 é divisível por 45,
digitamos:
javascript: 960 % 45
A seguir pressione ENTER e você verá
uma nova janela com um número! Se o número for zero a divisão será exata, mas
se for diferente de zero a divisão não será exata. Para sair da janela com a
resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
Alguns critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é
par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último
algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número
terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma
de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível
por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois
1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se o número
formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível
por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é
divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu
último algarismo é 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o
algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último
algarismo não é 0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se é par e
a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos:
7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é
par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é
divisível por 3.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro
do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um
número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o
processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
16592
|
Número sem o último algarismo
|
-16
|
Dobro de 8 (último algarismo)
|
16576
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último
número.
1657
|
Número sem o último algarismo
|
-12
|
Dobro de 6 (último algarismo)
|
1645
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último
número.
164
|
Número sem o último algarismo
|
-10
|
Dobro de 5 (último algarismo)
|
154
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último
número.
15
|
Número sem o último algarismo
|
-8
|
Dobro de 4 (último algarismo)
|
7
|
Diferença
|
A diferença é divisível por 7, logo o
número dado inicialmente também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
426
|
Número sem o último algarismo
|
-2
|
Dobro do último algarismo
|
424
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último
número.
42
|
Número sem o último algarismo
|
-8
|
Dobro do último algarismo
|
34
|
Diferença
|
A última diferença é 34 que não é
divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se o número
formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por
8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é
divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma
dos seus algarismos é um número divisível por 9.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381
não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina
com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0
(zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 se a soma
dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é
um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0,
então o número é divisível por 11.
Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
Número
|
1
|
3
|
5
|
3
|
Ordem
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
par
|
O primeiro e o terceiro algarismos têm
ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem
par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é
igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por
11.
Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
Número
|
2
|
9
|
4
|
5
|
8
|
Ordem
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
A soma dos algarismos de ordem ímpar,
Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as
somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
Número
|
2
|
5
|
4
|
3
|
Ordem
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
par
|
A soma dos algarismos de ordem impar é
Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp
não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
Número
|
6
|
5
|
2
|
0
|
8
|
Ordem
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
A soma dos algarismos de ordem impar é
Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença
Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 se o
quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último
algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for
grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este
critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que
no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
1656
|
Número sem o último algarismo
|
+8
|
Quatro vezes o último algarismo
|
1664
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
166
|
Número sem o último algarismo
|
+16
|
Quatro vezes o último algarismo
|
182
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
18
|
Número sem o último algarismo
|
+8
|
Quatro vezes o último algarismo
|
26
|
Soma
|
Como a última soma é divisível por 13,
então o número dado inicialmente também é divisível por 13.
Divisibilidade por 16
Um número é divisível por 16 se o
número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.
Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido
por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por
16 pois 5321 não é divisível por 16.
Divisibilidade por 17
Um número é divisível por 17 quando o
quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém
este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número
obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a
divisão por 17.
Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
1859
|
Número sem o último algarismo
|
-40
|
Cinco vezes o último algarismo
|
1819
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último
número.
181
|
Número sem o último algarismo
|
-45
|
Cinco vezes o último algarismo
|
136
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último
número.
13
|
Número sem o último algarismo
|
-30
|
Cinco vezes o último algarismo
|
-17
|
Diferença
|
A diferença, embora negativa, é
divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.
Divisibilidade por 19
Um número é divisível por 19 quando o
dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último
algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda
for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.
Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
16592
|
Número sem o último algarismo
|
+16
|
Dobro do último algarismo
|
16608
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
1660
|
Número sem o último algarismo
|
+16
|
Dobro do último algarismo
|
1676
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
167
|
Número sem o último algarismo
|
+12
|
Dobro do último algarismo
|
179
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
17
|
Número sem o último algarismo
|
+18
|
Dobro do último algarismo
|
35
|
Soma
|
Como a última soma não é divisível por
19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.
Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
427
|
Número sem o último algarismo
|
+10
|
Dobro do último algarismo
|
437
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
43
|
Número sem o último algarismo
|
+14
|
Dobro do último algarismo
|
57
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
5
|
Número sem o último algarismo
|
+14
|
Dobro do último algarismo
|
19
|
Soma
|
Como a última Soma é o próprio 19,
segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível
por 19.
Divisibilidade por 23
Um número é divisível por 23 quando o
héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este
último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido
ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por
23.
Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
18590
|
Número sem o último algarismo
|
+63
|
Dobro do último algarismo
|
18653
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
1865
|
Número sem o último algarismo
|
+21
|
Dobro do último algarismo
|
1886
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
188
|
Número sem o último algarismo
|
+42
|
Dobro do último algarismo
|
230
|
Soma
|
Como a última soma é divisível por 23,
então o número dado inicialmente também é divisível por 23.
Divisibilidade por 29
Um número é divisível por 29 quando o
triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este
último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido
ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por
29.
Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?
859
|
Número sem o último algarismo
|
-24
|
Dobro do último algarismo
|
835
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último
número.
83
|
Número sem o último algarismo
|
-15
|
Dobro do último algarismo
|
68
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último
número.
6
|
Número sem o último algarismo
|
-24
|
Dobro do último algarismo
|
-18
|
Diferença
|
A diferença, embora negativa, não é
divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por
29.
Divisibilidade por 31
Um número é divisível por 31 quando o
triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este
último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido
ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por
31.
Exemplo: 8598 é divisível por 31?
859
|
Número sem o último algarismo
|
+24
|
Triplo do último algarismo
|
883
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
88
|
Número sem o último algarismo
|
+9
|
Triplo do último algarismo
|
97
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
9
|
Número sem o último algarismo
|
+21
|
Triplo do último algarismo
|
30
|
Soma
|
A soma não é divisível por 31, logo o
número dado inicialmente também não é divisível por 31.
Divisibilidade por 49
Um número é divisível por 49 quando o
quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este
último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido
ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por
49.
Exemplo: 8598 é divisível por 49?
859
|
Número sem o último algarismo
|
+40
|
Cinco vezes o último algarismo
|
899
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
89
|
Número sem o último algarismo
|
+45
|
Cinco vezes o último algarismo
|
134
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último
número.
13
|
Número sem o último algarismo
|
+20
|
Cinco vezes o último algarismo
|
33
|
Soma
|
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