Exercicio de Poliedros resolvidos

Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

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O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

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Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

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Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

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Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

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Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

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• Resposta Questão 1

* F + V = A + 2
* A = V + 6

F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8

O poliedro possui 8 faces.

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• Resposta Questão 2

Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)

Pela relação de Euler, temos:

F + V = A + 2

No problema sugerido temos que F = V, portanto:

V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12

Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.

Resposta Questão 3

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas.

            De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

 Resposta Questão 4

 O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12 

• Resposta Questão 5

V: vértice
A: arestas
F: faces

F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.

Resposta Questão 6

P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)

F = 3*P + x*T
A = 4*x

Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3

O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
 

1) (PUC RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o número de vértices deste poliedro são, respectivamente,

a)     30 e 40

b)    30 e 24

c)     30 e 8

d)    15 e 25

e)     15 e 9

 

2) (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e vértices do poliedro é, respectivamente

a)     34, 10

b)    19, 10

c)     34, 20

d)    12, 10

e)     19, 12
3) (MACK – SP) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares,  4 faces quadrangulares e 5 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é:

b)    12

c)     15

d)    9

e)     13

 

 

4) (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a

a)     11

b)    32

c)     10

d)    20

e)     22

 

5) (PUC-PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440°, então o numero de arestas desse poliedro é:

a)     12

b)    8

c)     6

d)    20

e)     4

 

6) (ITA – SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:

a)     13

b)    17

c)     21

d)    24

e)     27

 

7) (CEFET – PR) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é:

a)     32

b)    12

c)     20

d)   15

e)     18

 

8)  (UFPE) Em relação aos poliedros regulares, podemos afirmar que:

01) São sempre poliedros estrelados.

02) Possuem n.(n-3)/2 diagonais, sendo n o numero de arestas do poliedro.

04) Possuem F + V – 2 arestas, sendo (F) o número de faces, e (V) o número de vértices.

08) Tem por faces: triângulos eqüiláteros, quadrados, pentágonos e hexágonos regulares.

16) São superfícies limitadas pelo mesmo tipo de polígono regular.

 

 

9) (PUC RS) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices desse poliedro é:

a)     4

b)    6

c)     8

d)    9

e)     10

 

10) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo a soma dos ângulos internos de todas as faces será:

a)     3240°

b)    3640°

c)     3840°

d)    4000°

e)     4060°